Reflexiones sobre cómo desarrollar y argumentar una tesis:
Las reglas lógicas veritativo-funcionales
Raymundo Morado
Instituto de Investigaciones Filosóficas, UNAM, 1995
El filósofo Ariel Campirán ha dividido el quehacer filosófico en tres rubros principales: Investigación, Análisis y Difusión. Dejando de lado difusión (un ejemplo de lo cual es lo que estamos haciendo aquí), los otros dos aspectos, investigación y análisis, pueden ser entendidos como producir y estudiar argumentos.
Un argumento es un discurso en el que ciertas proposiciones se ofrecen como base, apoyo o fundamento para otras proposiciones. Este es el eje en torno al cual gira el discurso científico y en especial el filosófico. En contraste, dar razones no es el eje principal para los discursos poéticos o religiosos. Pero en ciencia sí necesitamos siempre partir de ciertos principios, bases, premisas o fundamentos para llegar a conclusiones o tesis.
¿Por qué necesitamos dar argumentos en ciencia? Ciertamente no son imprescindibles en religión. Pero mientras la religión busca opiniones correctas, un filósofo o un científico busca conocimiento. Desde los antiguos griegos sabemos que hay una gran diferencia entre tener opiniones correctas y tener conocimiento. Se puede tener creencias verdaderas simplemente por suerte, o por fe. Estas creencias no constituyen conocimiento si carecen de fundamento racional. Cuando nuestro objetivo no es sólo tener creencias verdaderas sino, más aun, tener conocimiento, debemos construir argumentos.
No es difícil construir un argumento. Una manera de hacerlo es empezar con un temario,
es decir, con una lista de temas que nos parezcan interesantes. Por ejemplo, a mí me interesan los siguientes temas: las leyes lógicas del razonamiento válido, cómo saber si algo es racional, como puede cambiarse sensatamente de creencias, qué tan falibles somos los seres pensantes, la enseñanza de la lógica. Una vez que se tiene una veintena de estos temas, pasamos a jerarquizarlos. Por ejemplo,
del más temprano al más tardío,
de lo mayor a lo menor,
de lo cercano a lo lejano,
de lo causante a lo causado,
de lo particular a lo general,
de lo más simple a lo más complejo,
de lo más importante a lo menos importante,
de lo más claro a lo más oscuro,
de lo obvio a lo discutible,
etc.(1)
y, por supuesto, la jerarquía puede ser de sentido inverso (por ejemplo, de lo general a lo particular). Esta jerarquización convierte un conjunto desordenado de temas en un temario, es decir en un ordenamiento de temas.
Ya con los temas ordenados, escogemos uno de ellos sobre el cual tengamos una opinión controvertible. Es importante no decir algo que sea generalmente aceptable. Las creencias que todos aceptamos no suscitan discusión y por ello raramente requieren ser justificadas con argumentos. Escogemos pues algo lo más controvertible posible. Por ejemplo, sobre la enseñanza de la lógica, yo creo que para principiantes no debe enseñarse lógica formal sino análisis lógico de argumentos del lenguaje natural. Esto es controvertible; ciertamente la mayoría de los cursos actuales de lógica se desentienden lo más rápido posible del lenguaje natural y se circunscriben a lo que puede ser expresado en lenguajes formales.
Una vez propuesta una tesis controvertible, necesito defenderla ofreciendo razones que la apoyen. Es decir, la trato como la conclusión de algunas premisas. Desgraciadamente a menudo no sabemos cuáles premisas invocar. Aquí podemos utilizar el otro tipo de quehacer filosófico identificado por Campirán: el análisis. Campirán divide el análisis filosófico en dos tipos: conceptual y lógico. Veamos el primero. Hacer un análisis conceptual significa hacer distinciones, es decir eliminar confusiones. Es común confundir distintos conceptos bajo una misma palabra, y se requiere filósofos bien entrenados para limpiar esas confusiones y hacer las distinciones necesarias, sean estas semánticas, lógicas, epistémicas, ontológicas, etc.
En el caso de nuestra tesis controvertible, "La enseñanza de la lógica debe empezar con el análisis lógico de argumentos del lenguaje natural", hay que entender bien a qué llamamos lógica, qué es un análisis lógico de argumentos, que es un lenguaje natural, y distinguir todos estos conceptos de otros conceptos cercanos pero distintos. En general, los términos claves que hay que clarificar son aquellos que puedan no ser usados de la manera común. (Para entender mejor la tesis es útil parafrasearla, decirla con otras palabras.)
Simbolización
Quitar confusiones sobre los términos claves nos permite entender mucho mejor que es lo que dice nuestra tesis y revela su relación con otros términos de nuestro temario. Podemos entonces poner la tesis en un lenguaje sin ambigüedad, por ejemplo simbolizándola en lógica de primer orden. Cuando uno estudia química o matemáticas uno de los rasgos que más llaman la atención es que estas disciplinas tienen un lenguaje especial. Por ejemplo, el químico no dice que la sal de la cocina esta formada por sodio y cloro; dice, misteriosamente, que
Na + Cl NaCl. También los físicos tienen sus símbolos especiales y los ajedrecistas y los lógicos. Los símbolos permiten evitar ambigüedades. La sal de cocina no es la única sal que existe: puede haber sales de olor, sal de mar, de mesa, industrializada, etc. Si en lugar de decir "sal'' decimos NaCl ya no hay ambigüedad. NaCl se lee "cloruro de sodio'' para remarcar que no hablamos de cualquier sal. Para quien ha estudiado química, esta fórmula no es misteriosa. Y quien ha estudiado matemáticas entiende que se simbolice "una comida para tres personas necesita la mitad de ingredientes que una comida para seis" como 3a = 6a/2.
Otra ventaja de usar símbolos es que es más sencillo visualizar una situación con ciertas abreviaturas. Puede ser difícil entender: "la suma de la división entre dos de una cantidad y la división entre tres de otra y la división entre cuatro de la primera''. Es más sencillo comprender a/2 + b/3 + a/4. Esta expresión permite ver y manejar más fácilmente lo que podría decirse con un lenguaje más habitual pero también más engorroso y, en ocasiones, menos claro.
Tal vez nadie piensa con fórmulas. Pero vale el esfuerzo aprender técnicas que a la larga nos servirán para clarificar y manejar mejor nuestro material. Además de que, al exigirnos precisión, será más difícil que un autor nos haga aceptar de contrabando información dudosa. Frases como "la primera cantidad'', "la segunda'', "lo que pusimos antes", se reemplazan con letras lo mismo en el álgebra que en lógica. En álgebra las letras normalmente se refieren a cantidades. En lógica empezaremos refiriéndonos a proposiciones. Después de todo, razonar es ir encadenando proposiciones para que unas sirvan de apoyo a otras. Las proposiciones que pueden usarse en filosofía son infinitas, pero ya que normalmente no manejamos más de una docena al mismo tiempo, las letras del alfabeto nos bastarán.
Podemos simbolizar "Todo lo real es racional'' con la letra A o con la letra P, o con la que prefiramos. Es normal usar de la P en adelante. Si nos faltan letras es suficiente escribir P', P'', P''', etc. Lo más conveniente es utilizar una letra que nos recuerde el contenido de la oración. Así, en este caso podríamos usar una T o una R o una H (por Hegel). Supongamos que escogemos R. Si además queremos simbolizar "Todo lo racional es real'', necesitamos usar otra letra para evitar confusiones: T, H, P, A u otra cualquiera. El gusto matemático por variables sin valor mnemónico es a menudo abandonado en informática, donde se utilizan simbolizaciones aún económicas pero más descriptivas como "REAL-RAC''. Mientras la simbolización sea clara estos detalles quedan al gusto del lógico.
El método para formar oraciones compuestas es tomar una o varias oraciones y poner antes, después o enmedio de ellas otras partículas. Una vez hecha una proposición compuesta, podemos utilizarla en combinación con otras proposiciones para formar más y más proposiciones compuestas. Podemos negar negaciones ("Es falso que la mente no es material''), negar conjunciones ("Miente quien afirme que la mente es material y mortal''), conjuntar disyunciones ("El ser humano es bueno o malo y merece alabanza o reprobación''), disyuntar negaciones ("O bien el arte no requiere de formas preestablecidas o bien no es otra cosa que repetición de un modelo''), etc. Sólo necesitamos ir añadiendo partículas. Entre las que se usan con mayor generalidad están las llamadas partículas lógicas. Por ejemplo, la negación aparece de muchas maneras, pero en lógica no buscamos la variedad sino la precisión al comunicar. Y para que no haya malos entendidos es mejor tener una sola expresión que señale a la negación y a nada más. El símbolo que usaremos (porque es fácil de escribir a máquina) es "-''.
Aunque se pierden matices estilísticos, se gana en precisión. Para definir esta negación, debemos decir exactamente cuál es su función lógica. Para nuestros intereses, negar una proposición X es simplemente asegurar que X es falsa. En otras palabras, la negación de X es verdad si X es falsa; pero falsa si X es verdad.
Otra partícula lógica es la conjunción. Si la afirmamos nos comprometemos con que las dos proposiciones que une son verdaderas. Si no son verdaderas ambas, el compuesto es falso. Una conjunción se simboliza como "&'' y es verdadera sólo cuando las dos proposiciones que la componen son verdaderas.
Una tercera partícula lógica muy común es la disyunción. Esta aparece usualmente como la llamada "disyunción exclusiva''.(2) La encontramos cuando tenemos que elegir una de dos alternativas. Por ejemplo, "Los entes o son o no son''. Esta disyunción "excluye'' la posibilidad de que ambos disyuntos ocurran. Aunque sea posiblemente la disyunción más común, nosotros emplearemos una disyunción que "incluya'' la posibilidad de que ambos disyuntos ocurran. Es la llamada "disyunción inclusiva'' simbolizada mediante "v''. Por ejemplo, al decir "El ser humano es espíritu o es cuerpo'' entenderemos la disyunción en este manual como inclusiva; así, esa proposición será verdad incluso si el ser humano es tanto espíritu como cuerpo.(3) Queda al buen criterio del lector detectar cuando un filósofo usa la disyunción como inclusiva o como exclusiva. Un indicador de que se trata de inclusiva es el agregado "... o ambas cosas". Y un indicador de que se trata de exclusiva es el agregado "... pero no ambas cosas". Desgraciadamente los escritores acostumbran omitir estas aclaraciones, por lo que debemos analizar el contexto para decidir de qué disyunción se trata.
Cada razonamiento involucra una secuencia de proposiciones. Nos interesa estudiar la forma lógica de esas secuencias pues la corrección de nuestros razonamientos depende de cómo se relacionen lógicamente tales proposiciones. Una relación usual es que el valor de verdad de una proposición compuesta dependa del valor de verdad de las proposiciones atómicas que contenga.
Podemos calcular mecánicamente el valor de la proposición compuesta simplemente revisando el valor de verdad de sus integrantes. Esto es lo que queremos decir al afirmar que el valor de verdad del compuesto es una función del valor de verdad de las partes. En otras palabras, la conjunción es una función de verdad porque su verdad depende de la de sus componentes. También lo son la negación y la disyunción. Y cualquier partícula lógica que forme siempre compuestos en los que baste conocer el valor de verdad de sus partes para saber el valor de verdad de ese compuesto, es una partícula veritativo-funcional. Las conectivas que hemos visto son suficientes para simbolizar cualquier estructura proposicional veritativo-funcional.
En español, las partículas "Es falso que...'', "... y ...'', "... o ...'', normalmente son veritativo-funcionales. Pero el español no es un lenguaje exacto. Mientras que "-'', "\&'', "v'' tienen siempre el mismo significado en lógica, en el habla cotidiana una expresión como "...y...'' puede ser veritativo-funcional en algunas ocasiones y no veritativo-funcional en otras.
Por ejemplo, para que sea verdad la conjunción veritativo-funcional de "Sócrates murió'' y "Sócrates bebió cicuta'' es suficiente que ambas proposiciones sean verdaderas. Pero en el uso habitual del español, hay un sentido no veritativo-funcional del "y'' en el que se requiere que haya cierta anterioridad temporal entre los dos hechos, que Sócrates haya muerto primero y bebido cicuta después. De igual manera, hay "disyunciones'' no veritativo-funcionales que requieren, para ser verdaderas, haber agotado todas las alternativas posibles. En este sentido "O lo verdadero es bueno o es bello'' es falso porque no agota las posibilidades (incluso suponiendo que lo verdadero es bueno y que por lo tanto la "disyunción'' veritativo-funcional es verdadera.
Por lo general, el conectivo veritativo-funcional recoge la afirmación mínima que se hace con toda una clase de enunciados en lenguaje natural. Precisamente por perder información es que podemos simbolizar prudentemente sin temor de poner en boca de un autor algo que él no dijo. Para hacer un análisis lógico hay que extraer la información que se nos quiere transmitir a pesar del ropaje retórico que la cubra. Por ejemplo, es común encontrar afirmaciones formuladas como preguntas retóricas, órdenes o invocaciones.
Construyendo argumentos mediante reglas lógicas
Regresamos ahora a la tesis controvertible que habíamos creado. Ya simbolizada y desprovista de ambigüedad, pasamos a preguntarnos tanto qué cosas se siguen de nuestra tesis (para entender mejor su alcance), como de qué cosas se puede seguir. Hay que recordar que algunas cosas se siguen por el significado de los términos (las implicaciones semánticas) mientras que otras cosas se siguen por el uso contextual de las expresiones (implicaturas conversacionales).
Proponer proposiciones que justifiquen nuestra tesis es a veces la parte más difícil. Sabemos qué queremos decir y cuál es su alcance, pero no sabemos de dónde se podría obtener. Es decir, tenemos la conclusión pero nos es difícil identificar sus premisas. Aquí nos podemos aprovechar de la labor de miles de lógicos que a través de los tiempos han descrito y clasificado las formas más comunes de obtener conclusiones de manera lógicamente impecable. Veremos aquí 32 de ellas, un verdadero arsenal de estrategias para argumentar logicamente. Por supuesto, faltan muchas otras reglas no veritativo-funcionales, pero estas pocas pueden dar una idea de como usar la lógica para estructurar una argumentación.
Hay reglas de tres tipos: las reglas incondicionadas, que son reglas que permiten introducir enunciados sin necesidad de premisas, las reglas de inferencia, mediante las cuales extraemos nuevas consecuencias de lo que decimos, y las reglas de equivalencia, en las que sólo cambiamos la forma de lo que decimos y seguimos diciendo lo mismo, ni más ni menos. A pesar de sus nombres raros, la mayoría de estas reglas corresponden a reglas que usamos a menudo sin darnos cuenta, como aquel personaje de Molière que hablaba en prosa sin saberlo.
Comprender una regla lógica es mucho más difícil que simplemente aprender a aplicarla correctamente. Comprender involucra darse cuenta de lo que la regla "dice'' o "muestra'', del hecho lógico que la hace válida. Para descubrir qué es lo que una regla dice es útil hacer al menos cinco cosas:
Leer. Antes que nada lea la regla en un pseudo-español lógico. Por ejemplo, "Si P entonces P o Q'' (simbolizado P Q). Pero léalo de varias maneras para captar todos los matices: "P es condición materialmente suficiente para la disyunción inclusiva de P o Q'', o bien, "Para que se dé P es condición materialmente necesaria que sea verdad al menos uno de P o Q''. La realidad es prismática, es decir, permite muchos enfoques diferentes. Lea cada regla de muchas maneras.
Parafrasear. Trate ahora de leer la regla en lenguaje coloquial, de la manera en que podría decirse normalmente. Por ejemplo, "Nada ocurre sin que ocurra ello u otra cosa''. Aunque no sean traducciones exactas, ayudarán a entender por qué alguien pudo ofrecer tales reglas como válidas.
Ejemplificar. Una vez que se ha leído la regla en un lenguaje lo más natural posible, toca revestir a la estructura abstracta con ejemplos concretos, conectados a los intereses de cada persona. Sin este paso crítico, la lógica puede aparecer desconectada de otros temas y se perdería uno de los más importantes beneficios de estudiarla. Por ejemplo, si nos interesa Sócrates, podemos dar el ejemplo: "Sabiendo que Anito mintió, podemos afirmar que al menos un acusador de Sócrates (Anito o alguno de los otros) mintió''.
Evaluar. Después de leer, parafrasear y ejemplificar, es probable que ya se entienda la regla. Es el momento de preguntarse honestamente si se acepta tal regla como un principio de razonamiento. ¿Estamos dispuestos a confiar en ella, poner la mano en el fuego en defensa de su validez? Es decir, ¿creemos que la regla debe ser aceptada por todo ser racional? Sin este paso, que es íntimo y personal, la regla no ha sido "asumida'' vivencialmente; es decir, no se ha incorporado conscientemente esta herramienta lógica a nuestra manera de pensar.
Probar. Y finalmente, hay que intentar demostrar la validez de cada regla que aceptemos.
Reglas incondicionadas
Identidad: Toda proposición se implica a sí misma.
Uso: Sirve para aumentar la presencia de alguna proposición.
Principio de No Contradicción: Quien afirma una contradicción miente.
Uso: Permite introducir material en una derivación.
Principio del Tercio Excluso: Una proposición o es verdadera o es falsa.
Uso: Permite introducir material en una derivación.
Reglas de inferencia
Adición: De algo se infiere su disyunción (inclusiva) con cualquier otra cosa. Si tengo una proposición aislada puedo unirla con otra mediante una disyunción.
Uso: Si en una fórmula nos hace falta alguna letra, podemos introducirla mediante adición.
Condicionalización: Si hemos llegado a una proposición podemos obtener un condicional con ella como consecuente. En el antecedente puede ir cualquier cosa. En especial, si lo que se pone en el antecedente es algo bajo cuya suposición se ha llegado al consecuente, el condicional no tiene la obligación de heredar tal dependencia.
Uso: Nos facilita la tarea de probar un condicional: basta probar el consecuente y usar condicionalización. Además nos permite trabajar con muchas premisas extras y descargar después el compromiso con ellas. Si logramos quedarnos sin compromisos (dependencias) habremos llegado a una verdad lógica.
Conjunción: Si una proposición está en una línea y una segunda proposición en otra, entonces ambas pueden unirse en conjunción en una nueva línea. Si tengo una proposición aislada de otra, puedo unirlas mediante una conjunción en el orden que prefiera.
Uso: Sirve para hacer de dos premisas una sola más fuerte.
Dilema Constructivo: Si tenemos dos condicionales y afirmamos sus antecedentes en disyunción se obtienen los consecuentes en disyunción.
Uso: Permite ir desarmando parejas de condicionales hacia proposiciones en disyunción.
Dilema Destructivo: Si dos condicionales son el caso y alguno de los consecuentes es falso, entonces alguno de los antecedentes debe fallar.
Uso: Permite ir desarmando parejas de condicionales hacia proposiciones en disyunción.
Exportación: Si dos proposiciones son suficientes para una tercera entonces la primera es suficiente para que la segunda sea suficiente para la tercera.
Uso: Nos permite poner como parte del consecuente lo que era parte del antecedente.
Importación: Decir que una proposición es suficiente para que otra sea a su vez suficiente para una tercera implica que las dos primeras en conjunción son suficientes para la tercera.
Uso: En compañía de la exportación permite poner como parte del antecedente lo que era parte del consecuente y viceversa.
Modus Ponens: Si teniendo un condicional se nos concede el antecedente, entonces tenemos también el consecuente.
Uso: Sirve para romper un condicional quedándonos con el consecuente afirmado. (Hay que recordar que en un condicional ni el antecedente ni el consecuente se han afirmado. Sólo nos hemos comprometido con la relación entre los valores de ambos.)
Modus Tollens: Bajo el supuesto de que una proposición es suficiente para que se dé otra, si aquella no se da, entonces la primera tampoco.
Uso: Sirve para romper un condicional quedándonos con la negación del antecedente.
"Paradojas" de la Implicación Material: Como vimos ya con la Condicionalización si algo es
verdad (Q) entonces cualquier otra proposición la implica materialmente. (Por supuesto, no estrictamente.) Además, si algo es falso (P) entonces implica materialmente a cualquier otra
proposición. Finalmente, dadas dos proposiciones cualesquiera, alguna implica materialmente a la otra. [Atención: La tercera regla no menciona ninguna premisa. Es una verdad lógica y
no genera dependencia por lo que podría incluírse en las reglas incondicionadas.]
Uso: Sirven para introducir nuevo material en nuestras derivaciones.
Principio del Pseudo Scoto: De una contradicción se sigue cualquier cosa.
Uso: Para derivar cualquier cosa basta encontrar una contradicción en las premisas.
Principio del Factor: Si tenemos un condicional, el antecedente reforzado implicará
al consecuente reforzado en la misma medida.
Uso: Sirve para completar material en un condicional.
Silogismo Disyuntivo (Modus Tollendo Ponens): Si una proposición u otra son el caso y sabemos que una de las dos es falsa, la otra es verdadera. Es decir, si tenemos una disyunción y un disyunto es falso, podemos deducir que el otro es verdadero.
Uso: Permite desarmar las disyunciones para afirmar uno de los disyuntos. (Recuérdese que una disyunción no está afirmando ninguno de los disyuntos en especial.)
Silogismo Hipotético: La implicación material es transitiva.
Uso: Permite unir material a través de otra proposición.
Simplificación: Si una conjunción es el caso, cualquier conyunto también lo es.
Uso: Permite desarmar conjunciones.
Reglas de equivalencia
Absorción: Decir que algo implica una cosa es lo mismo que decir que implica a la conjunción de él mismo con lo que implicaba.
Uso: La absorción se usa cuando tenemos un condicional y necesitamos poner el antecedente dentro de su propio consecuente,o quitarlo si ya se encuentra ahí.
Antilogismo: Decir que una conjunción implica materialmente algo, equivale a decir que
si un conyunto es verdad sin que se dé el consecuente, entonces el otro conyunto debe ser falso.
Uso: Para intercambiar (negando) el consecuente con parte del antecedente.
Asociación: Si en un enunciado sólo figuran disyunciones (o sólo conjunciones), no importa donde pongamos los paréntesis.
Uso: Permite recombinar los paréntesis a nuestro gusto, e incluso ignorarlos, donde aparezcan como conectivas sólo disyunciones o sólo conjunciones.
Composición: Tener en conjunción dos condicionales con el mismo antecedente es decir que tal antecedente es suficiente para la conjunción de los consecuentes.
Uso: Para hacer de dos condicionales uno solo, reforzando el consecuente, o para hacer de uno dos, debilitando el consecuente.
Conmutación (Permutación): En una conjunción (disyunción) no importa el orden de los conyuntos (disyuntos). Si tengo una disyunción puedo cambiar los elementos de manera que el segundo ocupe el lugar del primero y éste de aquel. Si tengo una conjunción puedo cambiar los elementos de manera que el segundo ocupe el lugar del primero y éste de aquel.
Uso: Permite escribir proposiciones unidas por conjunción o disyunción en el orden que deseemos.
Contraposición (también llamada Transposición): Decir que una proposición es suficiente para que se dé otra es lo mismo que decir que si no ocurriera la segunda tampoco ocurriría la primera. Si tenemos un condicional podemos poner en su lugar otro que tenga por antecedente la negación del consecuente del primero y como consecuente la negación del antecedente del primer condicional o viceversa.
Uso: Sirve para poner (quitando o poniendo negaciones) lo que era antecedente como consecuente y viceversa.
De Morgan: Si una negación afecta a una conjunción o disyunción esto es equivalente a distribuir la negación a cada proposición y cambiar la conjunción por disyunción o viceversa.
Uso: Nos permite pasar de trabajar con disyunciones a conjunciones y viceversa. Esta es una regla muy útil para cambiar de estructuras.
Definición de la Equivalencia Material (Bicondicional Material): Dadas dos proposiciones equivalentes, cualquiera es condición necesaria y suficiente de la otra. Una implica materialmente a la otra y viceversa.
Uso: Permite tanto armar como desarmar bicondicionales para poder aplicar otras reglas.
Definición de la Implicación Material (Condicional Material): Decir que una proposición implica materialmente a otra es lo mismo que decir que o bien la primera es falsa o la segunda es verdadera; y también es lo mismo que decir que no es el caso que la primera sea verdadera y la segunda falsa.
Uso: Nos permite transitar entre condicionales, disyunciones y negaciones de conjunciones.
Distribución: Decir que se da una primera proposición en disyunción con la conjunción de otras dos es lo mismo que decir que se da la primera o la segunda, y la primera o la tercera.
Uso: Permite repartir o extraer un factor común dentro de una fórmula. Además convierte a una fórmula que por su conectiva principal era una disyunción en una conjunción y viceversa.
Doble Negación: Negar que una proposición es falsa, es afirmarla.
Uso: Permite poner o quitar negaciones en pares.
Idempotencia (Tautología): Una conjunción (disyunción) con los dos miembros idénticos es redundante.
Uso: Permite reducir o multiplicar la presencia de una proposición.
Principio Conmutativo: Decir que una proposición es materialmente suficiente para que una segunda lo sea para otra tercera, es lo mismo que decir que la segunda sería materialmente suficiente para que la primera lo sea para la tercera.
Uso: Sirve para intercambiar el antecedente con parte del consecuente.
Reducción al Absurdo (Ley de Clavius): Decir que una proposición implica materialmente su propia negación es lo mismo que decir que es falsa.
Uso: Si suponiendo X como premisa, llegamos a una contradicción podemos derivar -X. Ahora, por condicionalización podemos escribir (X -X) que ya no depende de suponer X. Por reducción al absurdo obtenemos que X era falso después de todo. Paralelamente, suponiendo -X y derivando X, probamos X.
Observaciones sobre las reglas
(o1) Nuestras inferencias usuales están cargadas de analogías inconscientes, cambios bruscos de tema, intuiciones momentáneas, tendencias morales y estéticas. El pensamiento difícilmente se reconoce en estas reglas. Dejemos a los psicólogos explicar la gran cantidad de procesos con los que pensamos. Nuestra tarea es más modesta. En lógica no analizamos como se razona de hecho, sino las relaciones lógicas entre premisas y conclusión. De aquí la aparente artificialidad de algunas reglas. Al usarlas no estamos tratando de reproducir el pensamiento humano sino de evaluarlo.
(o2) Usar las reglas no significa recordar símbolos sino estructuras. Saber usar una regla supone el reconocer una estructura aunque esté oculta. Por ejemplo, en una página puede estar el antecedente de un condicional que no aparece hasta diez páginas después. Si estamos familiarizados con la estructura del "Modus Ponens" podremos aplicarlo a pesar de ello. Sólo el ejercicio constante permite familiarizarnos a tal grado con las estructuras lógicas que seamos capaces de reconocerlas incluso en contextos extraños o cuando el autor da por sobreentendidos algunos pasos.
(o4) Es común pensar en las reglas de equivalencia como las leemos, de izquierda a derecha. Hay que tener en mente que la aplicación puede darse al revés.
(o5) Así como el "si... entonces...'' del español rara vez coincide con el condicional material, la disyunción en español tampoco es siempre veritativo-funcional. E incluso cuando lo es puede ser tanto exclusiva como inclusiva. Algunas reglas son válidas sólo para un tipo de disyunción.
Usando las reglas para construir un argumento
Hemos llegado al momento de usar las reglas anteriores para construir un argumento que nos permita probar nuestra tesis. He aquí algunos consejos útiles para el uso de estas reglas.
(t1) Trate de localizar la forma general del argumento. A veces lo que parece un razonamiento complicadísimo tiene una forma simple pues toma a varias proposiciones en bloque como si fueran una sola.
(t2) Intente visualizar cuales premisas contienen el material de la conclusión y en qué forma lógica y avance mentalmente usando las reglas hasta ver que la conclusión se sigue de las premisas. Esto ayudará a eliminar material inútil.
(t3) Busque conexiones entre las premisas y después empiece con las más lejanas.
(t4) Pase revista mentalmente a las reglas que podrían aplicarse a las premisas e intente utilizar la información que vayamos extrayendo con las premisas aún no usadas.
(t5) Visualice posibles estructuras previas a la conclusión que se le asemejen y que se encuentren en las premisas o en las que las premisas se puedan convertir. La estrategia inversa consiste en transformar mediante equivalencias (para poder regresar), a la conclusión en formas lógicas que se asemejen a las formas de las premisas. Empiece de la conclusión hacia atrás buscando premisas plausibles. Use equivalencias para reducir los operadores lógicos a negación, disyunción y conjunción. Una vez hecho esto, conmutación, distribución, asociación y de Morgans pueden ser usadas para reacomodar el material de la fórmula. Como todas reglas son de equivalencia podemos regresar a la conclusión una vez que obtengamos la fórmula que buscamos.
(t6) Un caso excepcional es cuando el material de la conclusión es totalmente distinto al de las premisas. Si el argumento es válido, o bien las premisas son contradictorias o bien la conclusión es una verdad lógica o ambas cosas. Si las premisas son contradictorias, derívese una contradicción explicita (de la forma X & -X) y úsese el principio del Pseudo Scoto. Si la conclusión es una tautología se puede probar sin tomar en cuenta a las premisas, evitando así la dependencia; basta usar sólo premisas que sean instancias de reglas que no generan dependencia o, si se tiene alguna dependencia, deshacerse de ella por condicionalización. (En caso de que se desee la dependencia, una vez que obtenga la conclusión condicionalice y use Modus Ponens.)
(t7) Para probar una disyunción basta llegar a alguno de los disyuntos y aplicar Adición. Otra opción es usar el Dilema Constructivo o el Destructivo.
(t8) Para probar una conjunción pueden probarse los conyuntos por separado y unirlos después mediante Conjunción.
(t9) Para probar un condicional basta probar el consecuente o la negación del antecedente y usar las "paradojas" de la implicación material. O bien, suponiendo el antecedente derivar el consecuente y condicionalizar.
(t10) Para probar un bicondicional (A B) pruebe dos condicionales y use Conjunción y la Def. de la Equivalencia Material.
(t11) Siempre podemos auxiliarnos con premisas que no tengamos si las usamos sólo como hipótesis que descargaremos por condicionalización y sin volver a usar pasos que dependan de ella. Una vez descargado el supuesto, no podemos volverlo a usar sin volver a contraer la dependencia.
(t12) Si nuestras premisas consisten sólo de condicionales, y no es evidente una relación lógica especial entre antecedentes y consecuentes, trate de usar Silogismos Hipotéticos.
(t13) Si queremos demostrar C partiendo de una disyunción (A v B), podemos tratar de probar A C y B C. Una vez hecho esto, un Dilema Constructivo y la Idempotencia serán suficientes para obtener C.
(t14) Podemos suponer lo contrario de lo que buscamos e intentar derivar una contradicción. Si lo conseguimos, el principio del Pseudo Scoto permitirá que obtengamos lo que buscábamos. Condicionalizamos para eliminar la dependencia, y usamos la ley de Clavius.
(t15) Si en la conclusión vemos que aparecen letras que no están entre las premisas, habrá que usar alguna de las siguientes reglas: Adición, Condicionalización (pues el antecedente no necesita haber aparecido antes), Identidad, la tercera "paradoja'', o alguno de los principios del Pseudo Scoto, el Factor, No Contradicción o Tercio Excluso.
1. Tomo estos ejemplos de jerarquía del libro de Guillermina Baena Paz, Manual para Elaborar Trabajos de Investigación Documental, UNAM, México, 1977, pp. 17--18.
2. Escrita a veces . Esta parece ser la interpretación usual en los adultos. Véase Robert J. Sternberg, "Developmental Patterns in the Encoding and Combination of Logical Connectives'', Journal of Experimental Child Psychology, 28, 469--498, 1979, p. 496.
3. Hay una importante razón técnica para preferir la disyunción inclusiva: Con ayuda de la negación, la disyunción exclusiva se puede definir en términos de la inclusiva, pero no al revés.