TABLAS DE VERDAD
Francisco Javier Serrano Franco
( fserrano@sunserver.uaq.mx)
Documento anexo a la vídeo conferencia del 1 de junio de 2000	

1.	Introducción.
Esta presentación del tema “tablas de verdad” es diferente de la hecha en la vídeo conferencia del 1 de junio de 2000. En este documento he procurado incorporar varias de las recomendaciones que me hicieron durante la sesión, he agregado ejemplos y he tratado de indicar ejercicios y algunos problemas que plantearía a mis alumnos en una sesión presencial. También he agregado, con todo deleite, color y diagramas. Por supuesto, espero todavía cualquier sugerencia y comentario. No tengo ningún inconveniente ni objeción si alguien desea citar o emplear en sus clases cualquiera de los materiales, ejercicios, problemas o ejemplos de los ofrecidos aquí. Si alguien decide emplear algo de este material me gustaría saber cómo le resulto, qué tan útil fue y qué mejoras recomendaría.
2.	Objetivos generales de la presentación.
1.	Caracterizar de manera general a las tablas de verdad.
2.	Identificar una estrategia de aplicación “elegante” de las tablas de verdad y, a través de ésta:
3.	Apreciar que las tablas de verdad no carecen de utilidad y que no necesariamente son tediosas.
4.	Revisar la utilidad de las tablas de verdad para “justificar” las reglas de inferencia que 
5.	ofrece Copi.
6.	Detectar algunos de los problemas presentes en el manejo de las tablas de verdad.
7.	Revisar la “historia” de las tablas de verdad.
Sugerencias didácticas.
Para la presentación en la videoconferencia preparé láminas, a manera de acetatos que se podrían emplear en una clase normal. Las láminas, junto con mi voz y algunos trazos con marcadores gruesos, fueron los únicos recursos que utilicé. Lo que pretendía era simular las condiciones más comunes que se presentan en nuestras aulas cuando compartimos algún tema lógico. Sin embargo, me recomendaron emplear sobre las láminas impresas hojas de acetatos y sobre éstas hacer anotaciones (recomendación de Maria Elena Madrid). Me parece muy buena idea y, si se emplean marcadores de colores no-permanentes (en el mercado hay varias líneas de marcadores apropiados para acetatos que pueden borrarse o con alcohol o con agua, según el tipo de marcador) pueden lograrse sesiones bastante vistosas, “reciclables” (no excesivamente costosas). Con este recurso se pueden emplear unas pocas láminas “base” y, con los acetatos, hacer sobre ellas varias indicaciones o resolver diferentes cuestiones o problemas. Definitivamente no parece buena idea confiar en el pizarrón como recurso principal para enseñar las tablas de verdad. Sucede comúnmente, con tablas de verdad de más de 8 renglones (¡que necesariamente sería una de 16 renglones!), que el pizarrón pronto quede hecho un desastre, saturado y realmente poco legible. Además, aumentan mucho las posibilidades de equivocarse. Sin embargo, si no hay más remedio y se tiene que recurrir al pizarrón, hay que procurar trabajar con tablas de verdad pequeñas (de 4 o hasta 8 renglones). Por razones similares tampoco parece buena idea emplear gises de colores, porque, al borrar o al hacer nuevas anotaciones, lo típico es que se obtengan remedos bastante deplorables de pinturas impresionistas… Parece mejor opción trabajar con pintarrón. En este caso hay más libertad para emplear colores; sin embargo, tampoco es aconsejable manejar tablas de verdad de más de 4 renglones.
Otra idea interesante es el uso de material impreso, por ejemplo fotocopias. Se pueden distribuir fotocopias a los alumnos, al iniciar una sesión (o en una sesión previa), y apoyarse en ellas durante la presentación del tema. Las fotocopias podrían contener un esquema o resumen de nuestra presentación; o, con más ambición, nuestra presentación completa o los aspectos más importantes de ella –incluyendo tablas de verdad enormes. Las ventajas son que los alumnos contarían con un buen apunte del tema, ejercicios, problemas y, si se desea, actividades para después de clase. Las desventajas son el elevado costo (si se trabaja con grupos numerosos) y la limitante de recurrir a colores; esto último no representa un obstáculo insalvable: se puede remediar con escalas de grises, tipos de letras, y hasta se puede solicitar que los alumnos lleven marcadores de colores y que hagan ellos mismos sus propias anotaciones.
Durante la sesión me recomendaron emplear Power Point [software de la compañía Microsoft diseñado especialmente para presentaciones audiovisuales] como recurso didáctico. Me parece una idea excelente, pero no es fácil contar con los recursos extras (“cañón” de proyecciones, pantallas de televisión suficientemente grandes o computadoras portátiles) para hacer buen uso de este recurso. Me temo que la mayoría de nuestras escuelas de nivel medio superior e, incluso, en muchas escuelas de públicas de nivel superior, no se cuenta con todo este equipo. Claro, la sugerencia de recurrir a Power Point me la hicieron pensando en la presentación para la vídeo conferencia. Pero insisto en que lo que se pretendía era simular lo más fielmente posible las condiciones más comunes en nuestras aulas. Tal vez en el futuro alguien podría interesarse en mostrarnos cómo se podría utilizar este recurso en la enseñanza de la lógica.
3.	Plan de la sesión
Mi “plan de clase” para la vídeo conferencia fue el siguiente:
1.	Presentar el tema.
2.	Plantear los objetivos.
3.	Ofrecer una caracterización general de las tablas de verdad,
4.	Presentar ejemplos de tablas de verdad, 
5.	Hacer indicaciones para elaborar tablas de verdad, 
6.	Mostrar una estrategia mecánica “no desesperante” de aplicación de las tablas de verdad,   
7.	Indicar un uso importante de las tablas de verdad en relación con las reglas de inferencia y; en caso de que todavía tuviera “buen tiempo” (poco más o poco menos de 1 hora sería buen tiempo):
8.	Ofrecer una nota histórica de las tablas de verdad.
9.	Dar lugar a comentarios, preguntas o sugerencias de los presentes.
Antes de llevar a cabo este plan de acción quiero hacer una indicación sobre el uso de los colores que haré en esta presentación. Pensando en trabajar con acetatos o con material impreso (p.e., fotocopias), en el resto del documento señalo con color violeta (justamente como aquí) lo que pondría en láminas (es decir, el material que llevaría preparado de antemano a una clase). Lo que está en color negro (como aquí y en la mayor parte del documento) corresponde a mi exposición oral, mientras que lo destacado con colores diferentes (rojo, anaranjado, verde, o cualquier otro), corresponde a las anotaciones que haría durante la clase, usualmente a mano, en los acetatos, en las láminas o en un pizarrón. No es necesario que yo mismo haga todas estas indicaciones durante la sesión; muchas veces pediría “voluntarios” para completar las láminas o resolver tablas de verdad. Es importante enfatizar esto: gran parte del trabajo de resolución de una tablas de verdad debe correr a cargo de los propios alumnos. Es importante animarlos a buscar ejemplos, a participar en las estrategias de solución, cederles pronto la palabra, el gis, el marcador, el mouse…
	Bien, pues sin más preámbulos retomo el plan de la presentación a partir del inciso c, indicado dos párrafos antes.
4.	Caracterización general de las tablas de verdad.
Se puede iniciar nuestra exposición con la siguiente pregunta: ¿Qué son las tablas de verdad? Esta pregunta se puede contestar adecuadamente con  una sola oración: 
Las tablas de verdad son un tipo de instrumento de análisis veritativo-funcional.
Esto, por una parte, quiere decir que hay varios tipos de análisis veritativo-funcional y, por otra parte, nos conduce a una nueva pregunta: ¿qué es el análisis veritativo-funcional?
Bueno, para contestar esta última pregunta conviene primero establecer qué es una función veritativa o bien, qué queremos decir con “veritativo funcional”. Nuevamente, una buena respuesta no agota muchas palabras:
Una función veritativa es una interpretación verdadera o falsa de una fórmula o un enunciado compuesto (como una disyunción, una negación, o una conjunción) determinada por los valores de verdad de sus elementos simples.
Hay que recordar que en la lógica bivalente en la que se inscribe este tema manejamos solamente dos valores de verdad: verdadero y falso. Usualmente abreviamos la designación del primero con una “V” y la del segundo con una “F” (algunos autores, por ejemplo Quine, en vez de esto emplean respectivamente los símbolos T y ).
	Me parece que la mejor manera de entender qué es una función veritativa es por medio de ejemplos.
5.	Ejemplos de las tablas de verdad.
CONJUNCIÓN. El siguiente enunciado compuesto es una conjunción (espero que no excesivamente trivial):
Voté y fue por quien yo quise 
¿En qué casos diríamos o interpretaríamos como verdadero o como falso este enunciado compuesto? Antes de contestar esta pregunta debemos explicar que este “compuesto” puede descomponerse, por ahora, en tres elementos simples: los enunciados “voté” y “fue por quien yo quise”, así como la conectiva “y”, que los une.
¿Por qué no dividimos más estos elementos? Los dos enunciados que distinguidos en este compuesto tienen sentido por sí mismos, cada uno de ellos puede ser verdadero o falso. Si pretendemos descomponerlos en elementos más simples perdemos este carácter informativo de los enunciados. Si, por ejemplo, descompongo el primer enunciado citado y elijo considerar exclusivamente el sujeto de la acción me quedo con un trivial “yo” (implícito en este enunciado), el cual, por sí mismo, no me informa particularmente nada acerca del mundo. Decir ”yo” no es hacer una afirmación que podamos decir que sea el caso (que sea verdadera) o que no sea el caso (falsa). En cambio, decir, “voté”, es un enunciado que puede ser verdadero cuando realmente se da el caso de que yo haya votado, y falso cuando no es éste el caso. En cualquiera de estas dos situaciones el enunciado me estaría informando de algún hecho real. Lo que nos interesa es realizar análisis que nos informen precisamente de hechos significativos. Ahora bien, volvamos a la pregunta: ¿en qué casos puedo interpretar esta conjunción como verdadera o falsa?
Es notorio que si voté pero no fue por quien quise la conjunción es falsa. Si no voté es también falsa. También es obvio que si no es cierto que vote y tampoco es cierto que fue por quien yo quise el compuesto es falso. Parece, entonces, que el compuesto sólo es verdadero cuando es verdad que voté y es verdad que lo hice por quien quise. Todo esto se aprecia fácilmente en la siguiente tabla:
Voté	y	fue por quien yo quise	
F	F	F	
F	F	V	
V	F	F	
V	V	V	

Aquí tenemos ya una tabla de verdad, la primera que analizaremos en esta presentación. Esta tabla de verdad nos ofrece información completa de los casos en donde podemos interpretar al compuesto conjunción como verdadero y como falso. La tabla consta de 3 columnas y 4 renglones. Más adelante explico por qué tiene precisamente este número de renglones, por ahora me detengo en el número de columnas.

Columnas

Voté	y	
Renglones

fue por quien yo quise	
F	F	F	
F	F	V	
V	F	F	
V	V	V	

Función veritativa de una conjunción

Cuando descompusimos nuestra conjunción encontramos que constaba de 3 elementos simples, dos enunciados y una conectiva. Para construir la tabla de verdad asignamos una columna a cada uno de estos elementos. De este modo, esta tabla de verdad representa un tipo de análisis veritativo funcional de, en este caso, una conjunción. El “resultado” del análisis lo refleja la segunda columna, correspondiente a la conjunción. Así, el análisis veritativo funcional de una conjunción señala que la conjunción se interpreta como verdadera en el único caso en que sus conyuntos (los enunciados enlazados por la y) son verdaderos al mismo tiempo. En todos los demás casos el análisis veritativo funcional muestra que la conjunción es falsa.
	Lo importante de esta tabla de verdad, para los efectos de entender qué es el análisis veritativo funcional, consiste en verificar que, precisamente, el valor de verdad de todo el compuesto, es decir, la columna debajo de la “y”, está determinado por los valores de verdad de cada uno de los elementos simples, cada uno de los enunciados. El primer renglón de la tabla de verdad, por ejemplo, muestra que si ambos conyuntos son falsos esto determina que la conjunción sea falsa. Veamos otros ejemplos.

NEGACIÓN. Continuemos nuestro análisis con una negación:
Mi voto no cuenta
En este caso, la negación es verdadera cuando no cuenta mi voto y falsa cuando mi voto cuenta. Empleando los símbolos F y V:

No	cuenta mi voto	
V	F	
F	V	

Función veritativa de una negación

Es fácil ofrecer una caracterización general de la función veritativa de una negación. Es obvio que todo enunciado verdadero que negamos es falso, mientras que todo enunciado falso que negamos es verdadero. 
NÚMERO DE RENGLONES DE UNA TABLA DE VERDAD. Antes de continuar con otro ejemplo veamos con la negación cómo determinamos el número de renglones de una tabla de verdad. El número de renglones de cualquier tabla de verdad se puede calcular sencillamente con la siguiente fórmula: 2n Donde “n” es una variable que representa el número de enunciados simples que forman el compuesto que analizamos. En el caso de la negación que ahora consideramos la fórmula se traduce así: 21, donde el uno representa al elemento: “cuenta con mi voto”, el único enunciado simple de este compuesto. De modo que el número de renglones, tal como la formula indica, es dos: 21=2, precisamente el número de renglones de la tabla de verdad de la negación de arriba. Volvamos un momento a la tabla de verdad de la conjunción, que revisamos antes de la negación. Este compuesto consta de dos elementos simples, por lo que la tabla de verdad correspondiente debe tener cuatro renglones. Por supuesto, todo esto se aprecia en: 22=4. Esta sencilla fórmula se puede aplicar a cualquier compuesto. Lo importante es tener cuidado al establecer correctamente el número de elementos simples de los compuestos.

Ejercicios:
1.	¿Cuántos renglones tendría una tabla de verdad de 6 elementos simples?
2.	¿Puede una tabla de verdad tener un número non de renglones? ¿Por qué si o por qué no…?

DISYUNCIÓN. La disyunción es un caso de enunciado compuesto mucho más interesante que la negación. Algunos de sus matices gozan de la propiedad de conmover el corazón de los lógicos. Llamamos disyunción a un tipo de enunciado compuesto cuyos elementos simples están enlazados por “o”, “o bien” y sus equivalentes (no hay muchos más). Sin embargo, es preciso reconocer que en el lenguaje ordinario empleamos de dos maneras a la disyunción. Me parece que la mejor manera de apreciar estos significados es considerar de una vez algunos ejemplos. Veamos:

Votamos libremente o votamos coaccionados

Este enunciado tiene un significado muy distinto al de este otro:

Tomo mis propias decisiones o mucha gente influye en mí

Aun cuando ambos enunciados compuestos son disyunciones, con el primer ejemplo queremos decir que los elementos simples (llamados disyuntos) se excluyen: si aceptamos que votamos libremente excluimos que lo hacemos de manera coaccionada y, al mismo tiempo, si votamos de manera coaccionada, no podemos aceptar que lo hacemos libremente. En el segundo caso los disyuntos no se excluyen: muchas veces es verdad que aunque tomo mis propias decisiones mucha gente influye en mí. No hay problema en aceptar simultáneamente ambos elementos simples. La explicación de esto es que aquí la “o” tiene un significado semejante a “y/o”, de uso común en contextos jurídicos (donde se requiere de una precisión mayor que la que solemos exigir en los usos corrientes del lenguaje). El significado del enunciado que ahora analizamos se mantiene si lo escribo así:

Tomo mis propias decisiones y/o mucha gente influye en mí

En cambio, si el primer enunciado de esta sección lo escribo en el sentido inclusivo no estoy diciendo algo que pueda tener sentido: “voto libremente y/o voto coaccionado”. Es también evidente que la distinción entre los dos usos de la disyunción depende directamente de los significados independientes de los disyuntos. Lo que sucede es que hay conceptos que no pueden afirmarse simultáneamente acerca de algo: es el caso de votar libremente y votar de manera coaccionada. ¿Cómo podemos distinguir estos usos en la lógica? Hay que recordar que decidir acerca de esta distinción no es una tarea accesible para los “lógicos”, porque lo que nos interesa no son los significados de los elementos más elementales, sino los significados de los elementos compuestos (hasta ahora, precisamente, revisamos 3 casos de estos compuestos). En esto, precisamente, consiste el punto del análisis veritativo-funcional: en ofrecer el análisis de compuestos como la disyunción, no de ofrecer el análisis de conceptos como libertad y coacción y explicar por qué, precisamente, son excluyentes en el enunciado que consideramos en este párrafo. Me parece que esto arroja alguna luz sobre la peculiaridad de la lógica, en deslinde con otros instrumentos de análisis.
Nadie podría acusarnos de presumir de originales cuando llamamos al primer uso de la disyunción “exclusiva” y al segundo “inclusivo”. Si es un poco más original y atrevido llamar al primero el uso “fuerte” y, naturalmente, al segundo –el inclusivo– el sentido “débil”. En este punto me parece que un ejercicio interesante para los alumnos es que contesten con todo detalle la siguiente pregunta:

En nuestro uso cotidiano del español, ¿empleamos más la disyunción exclusiva o la inclusiva? Sería bueno justificar tu respuesta con algunos ejemplos.

Pero antes de ir más lejos tenemos que enfrentar un problema. ¿Podemos obviar la distinción que hicimos entre los dos significados de la disyunción? O ¿tenemos que decidir entre uno de ellos? Si la respuesta fuera que “sí” a la última pregunta, ¿por qué tendríamos que decidir entre un uso y otro? Una forma de abordar este problema puede ser, precisamente, mediante el uso de tablas de verdad. Sometamos a análisis los dos usos de la disyunción. Para hacer más breve nuestro análisis, consideremos que los disyuntos serán, respectivamente p, q, r y s, que simbolizarán, como es típico, cualquier enunciado simple que pueda ser evaluado como verdadero o como falso. De modo que la disyunción exclusiva será: p o q, mientras que r o s, la inclusiva. ¿En qué casos, según nuestro análisis veritativo funcional, es verdadera o falsa cada una de estas disyunciones? Bueno, para contestar esto podemos ayudarnos con la siguiente tabla, que contiene a ambas disyunciones:

Disyunción
exclusiva	Disyunción
inclusiva	
p	o	q	r	o	s	
V	F	V	V	V	V	
V	V	F	V	V	F	
F	V	V	F	V	V	
F	F	F	F	F	F	

No es particularmente difícil “calcular” cada uno de los renglones de esta tabla. Voy a revisar primero la disyunción inclusiva.
	Esta disyunción no es tan común en nuestros usos cotidianos del lenguaje, pero tampoco es una rareza. Lo que queremos decir con ella es que afirmamos uno u otro enunciado o ambos al mismo tiempo. Veamos otro ejemplo. Seguramente más de una vez les habremos advertido a nuestros alumnos: reprobaran este curso quienes tengan calificación menor a 6 o tengan más de 20% de faltas. Naturalmente, esta advertencia incluye que quienes tristemente hagan verdaderos ambos enunciados, incluso al mismo tiempo, no aprobaran el curso. A veces enfatizamos esto diciendo: reprobaran este curso quienes tengan calificación menor a 6 y/o tengan más de 20% de faltas. Cuando reflexionamos en esto, observamos fácilmente que quien haga falsos ambos enunciados falsea al mismo tiempo todo el compuesto. Es decir, aprueba el curso quien tenga calificación mayor a 6 y/o tenga menos de 20% de faltas. Podemos llegar así a una definición adecuada de la disyunción inclusiva: una disyunción inclusiva es falsa cuando sus disyuntos son falsos y es verdadera en todos los demás casos. La tabla de verdad muestra precisamente esto. La disyunción inclusiva es falsa solo en el cuarto renglón, cuando tanto r como s con falsos. En todos los demás casos la inclusiva se interpreta como verdadera. Consideremos ahora la disyunción exclusiva.
Una forma sencilla de entender la disyunción exclusiva es leer p o q como “p o q, pero no ambas”. (O también como “p o q, y sólo uno de ellos”.) Bajo este enfoque es patente que la primera casilla de la disyunción exclusiva (justo debajo de la o) tiene que tener necesariamente el valor falso, porque de lo contrario tendríamos la afirmación de ambos elementos simples, cosa que “prohíbe” la cláusula “pero no ambos”. Los renglones 1 y 2 son también obvios: la disyunción es verdadera porque se afirma sólo uno de los disyuntos, no ambos. Más interesante es el cuarto renglón. La cláusula “pero no ambos” sólo dice que no se pueden afirmar ambos disyuntos al mismo tiempo, pero no dice que sea preciso afirmar necesariamente uno de los dos. Sin embargo, algunas veces (realmente muy pocas veces) en el lenguaje ordinario sí queremos decir que se tiene que afirmar uno de los disyuntos y, al mismo tiempo, que no se pueden afirmar los dos. Pensemos en la situación en la que un padre dice a su hija “tú eliges, o entramos a la feria o vamos a nadar, no hay más”. (Los padres suelen ser incluso más dramáticos que esto, pero no importa por ahora). En este caso es evidente que la interpretación del cuarto renglón tendrá que ser falsa. Con todo, en los casos menos dramáticos, es evidente que incluso cuando no tenemos que elegir entre uno de los disyuntos, el compuesto es falso cuando no elegimos ninguno de ambos disyuntos, es decir, cuando no afirmamos ninguno de ellos. En este caso podemos decir que al no afirmar ninguno de ellos tampoco afirmamos todo el compuesto, de modo que lo podemos interpretar como falso. Tenemos ahora que decidir respecto de un nuevo problema. Este problema consiste en decidir qué hacer, en términos teóricos, respecto de los dos significados de la disyunción que tenemos entre manos.
La tabla de verdad anterior muestra que la única diferencia lógicamente importante entre ambos usos de la disyunción reside en el primer renglón. Mientras que la exclusiva es falsa si se afirman ambos elementos, en este mismo caso la inclusiva es verdadera. Si aceptamos que la disyunción inclusiva puede entenderse como “r o s o ambos”, es comprensible que, cuando afirmamos ambos disyuntos, el valor de verdad del compuesto sea V. Ahora bien, en los usos lógicos más extendidos se acostumbra aceptar el sentido inclusivo como la definición de la disyunción. Es decir, se define que una disyunción es falsa sólo cuando sus disyuntos son falsos, y verdadera en todos los demás casos. Una razón para aceptar sólo uno de los sentidos de la disyunción es que al hacerlo se agilizan cálculos lógicos más complejos (si se tomaran en cuenta ambos sentidos muchos cálculos con disyunciones tendrían que hacerse por lo menos una vez más, para tomar en cuenta ambos sentidos); otra razón es que no siempre es fácil decidir, considerando sólo los enunciados compuestos, el sentido particular de cada disyunción; sobre todo, no es una tarea para los lógicos decidir respecto de esto.) Una tercera razón es que la diferencia entre ambas disyunciones es tan pequeña que se puede obviar sin más. Esta última afirmación puede parecer frívola, pero, con todo, me parece que hay una buena manera de darle fuerza y así aceptar que la diferencia no es, en definitiva, especialmente significativa.
Consideramos ahora una paráfrasis de la disyunción exclusiva que puede elaborarse sobre nuestro último ejemplo. Digamos entonces:
Vamos a la feria y no a nadar o vamos a nadar y no a la feria
Es decir, entendamos a nuestra disyunción exclusiva como si se tratara de una disyunción (exclusiva si se quiere) de dos conjunciones. Donde las conjunciones consisten en los elementos “ir a la feria” e “ir a nadar”, afirmados y negados alternativamente en cada una de las conjunciones. Si simbolizamos el enunciado “ir a nadar” con la letra A y reservamos a la letra B para “ir a la feria”, podemos ahora escribir:
A y no-B o B y no-A
Cuya tabla de verdad es (agrego los paréntesis para enfatizar que se trata de una disyunción de dos conjunciones):

(A	y	no	B)	o	(B	y	no	A)	
V	F	F	V	V	V	F	F	V	
V	V	V	F	V	F	F	F	V	
F	F	F	V	V	V	V	V	F	
F	F	V	F	F	F	F	V	F	

Esta tabla de verdad puede parecer compleja. Ciertamente es más compleja que cualquier otra de las que hemos considerado hasta ahora. Pero presentarla puede ser ilustrativa por dos razones. La primera, porque nos permite responder el problema que tenemos entre manos: ¿cómo obviar la diferencia entre los dos significados de la disyunción? La segunda razón es que con esta tabla de verdad  podemos apreciar el procedimiento mecánico de cómo resolver una tabla de verdad de un enunciado complejo. Voy ahora a continuar con este segundo aspecto.
La mejor manera (¡la única manera!) de empezar a resolver una tabla de verdad es, naturalmente, calculando el número de enunciados simples del compuesto “A y no-B o B y no A”. Con este número podemos determinar fácilmente cuántos renglones y columnas deberá tener nuestra tabla de verdad: como son nada más dos elementos simples, A y B, aplicamos la fórmula 2n y tenemos que nuestra tabla de verdad sumará cuatro renglones, porque: 22=4 ¿Cómo continuamos después de esto?
	Para contestar esta pregunta voy a enumerar los pasos necesarios para resolverla en la siguiente tabla de verdad. También agregaré dos vistosas marcas en color para enfatizar los elementos importantes de la tabla de verdad.

(A	y	no	B)	o	(B	y	no	A)	
V	F	F	V	V	V	F	F	V	
V	V	V	F	V	F	F	F	V	
F	F	F	V	V	V	V	V	F	
F	F	V	F	F	F	F	V	F	
1	4	3	2	6	2	5	3	1	
	
Los números en el renglón de abajo indican el orden de los pasos en que se resolvieron las columnas de la tabla de verdad. Además, con color violeta, se puede seguir en este párrafo el mismo orden de resolución con los números en violeta intercalados en el texto. Lo primero es la asignación de valores a los enunciados simples. Es decir, el primer paso consiste en llenar las casillas debajo de A y de B con las letras V y F, de tal modo que agotemos todas las posibilidades de asignación de valores. (1) Empezando con A, una forma sencilla es contar el número de renglones, 4 en este caso, y asignar valores de verdad en un número par que sea exactamente la mitad del número de renglones, por supuesto, escribiendo dos V y dos F. (2) Luego nos detenemos en el elemento B. Como para A asignamos V y F de dos en dos, para B asignamos valores de uno en uno: escribimos una V y luego una F. Siguiendo este sencillo procedimiento puede asegurarse que de un modo mecánico se han agotado todas las posibilidades de interpretación de la tabla de verdad. Ahora, ¿con cuál columna debo continuar? Una regla obvia y elemental es continuar con la columna que tenga a la conectiva que afecte al menor número de enunciados simples. En este caso puede ser cualquiera de las negaciones, porque cada una afecta sólo a un enunciado simple. (3) La resolución de las negaciones es obvia. Una vez realizado esto seguimos con la columna de la conectiva que afecta a los elementos internos del compuesto: en este caso una conjunción, así que tenemos que resolver la columna debajo de la “y”, marcadas en verde. Para resolver cada conjunción esto tomamos en cuenta la columna de la negación (con los números 3 debajo) y la columna del elemento simple A o B, según sea el caso. Si empezamos con la conjunción “A y no-B”, (4) aplicamos ahora la definición de la conjunción que vimos antes: una conjunción es verdadera sólo cuando sus elementos simples son ambos verdaderos. En todos los demás casos es falsa. De modo que, renglón por renglón, aplicamos esta definición tomando en cuanta únicamente las columnas con los números 1 y 3. Es obvio que sólo en el segundo renglón escribimos V. La siguiente conjunción se resuelve igual. (5) Consideramos ahora las columnas 2 y 3 de la conjunción de la derecha y, al aplicar la definición de la conjunción, vemos que sólo tenemos que escribir F en el tercer renglón. Por último resolvemos la columna que define a todo el compuesto, es decir la columna con la disyunción. Para esto tomamos en cuenta sólo las columnas marcadas con verde (que fue lo último que resolvimos) y, con la información en ella, resolvemos la columna marcada con el número 6, en color anaranjado. Lo que tenemos que hacer es (6) aplicar la definición de la disyunción (exclusiva si se quiere) y comprobamos el único caso donde ambos disyuntos se han interpretado como falsos. Esto se observa únicamente en el renglón señalado con anaranjado. En todos los demás casos podemos escribir V, con la certeza de que la disyunción se interpreta como verdadera. Conviene, en este punto, revisar esta certeza. 
Hemos visto que el único caso aparentemente diferente entre las disyunciones exclusivas e inclusivas se presenta cuando ambos disyuntos son verdaderos al mismo tiempo. Bien, pues el caso es que aquí no se presenta en ningún renglón esta situación. ¿Qué quiere decir esto? Con esta observación en mente podemos pasar ahora a revisar la segunda razón para tomar en cuenta esta tabla de verdad más compleja.
Disyunción
inclusiva	
r	o	s	
V	V	V	
V	V	F	
F	V	V	
F	F	F	
	Decíamos que esta tabla de verdad, que representa una interpretación compleja de la disyunción exclusiva, nos permitiría comprender mejor a la disyunción exclusiva. Y así es precisamente. La tabla de verdad nos muestra que una disyunción exclusiva puede ser interpretada exactamente como una disyunción inclusiva. Volvamos a examinar la tabla de verdad de la disyunción inclusiva y corroboremos que su función veritativa es exactamente igual a la de esta paráfrasis de la exclusiva. La comparación reporta que ambas disyunciones sólo son falsas en el caso en que ambos disyuntos son falsos. Mientras que en todos los demás casos se interpreta como verdadera. Una cosa interesante que también podemos observar es que esta tabla de verdad obvia de una manera especialmente significativa la diferencia que estamos considerando. En efecto, en la tabla de verdad de la paráfrasis de la disyunción exclusiva no hay ningún caso donde ambos disyuntos sean, al mismo tiempo V. ¿Por qué sucedió esto?
	Una razón es que en realidad la paráfrasis muestra que realmente no se da el caso que se afirmen, al mismo tiempo, ambos disyuntos. Es precisamente lo que observamos en los usos corrientes del lenguaje. No se da el caso que al mismo tiempo votemos libremente y que lo hagamos de manera coaccionada. Tampoco se da el caso que seamos anarquistas y monárquicos (si es que todavía es aceptable esta disyunción). Podemos ser, en efecto, o anarquistas o monárquicos, pero no ambos. Creo que esto es lo que revela nítidamente la paráfrasis de la disyunción exclusiva. De este modo se obvia adecuadamente la diferencia entre los dos significados de la disyunción. Podemos concluir entonces esta sección del trabajo.
	Lo que hemos resuelto con la ayuda de las tablas de verdad es que podemos aceptar sin objeciones de peso la definición de la disyunción inclusiva para los dos significados de la disyunción. Hemos encontrado una paráfrasis adecuada de la disyunción exclusiva que puede ser interpretada satisfactoriamente exactamente como la disyunción inclusiva. De modo que, en lo futuro, podemos, con toda confianza, entender en general a la disyunción como un enunciado compuesto que puede ser interpretado como falso sólo cuando sus disyuntos son todos falsos y verdadero en todos los demás casos, es decir, es verdadero si al menos uno de sus disyuntos es verdadero. 
Además, hemos asentado que las tablas de verdad, decía, son un tipo de análisis veritativo-funcional. Los ejemplos de tablas de verdad que hemos revisado muestran cómo el valor de verdad de un compuesto está determinado por los valores de verdad de sus elementos. Para abreviar más el resto de la exposición podemos ahora introducir nuevos símbolos y resumir lo que hasta aquí se ha considerado.
Voy a recurrir a una simbología sencilla para reemplazar a las conectivas de enunciados que hemos considerado. Hasta aquí hemos revisado sólo la conjunción (que en el lenguaje corriente puede corresponder a “y”, “pero”, “además”, “,”, etcétera); la negación (“no”, “ningún”, “nunca”, etcétera) y la disyunción (“o”, “o bien”, etcétera). Todos estos matices y riqueza del lenguaje corriente se sacrifica en aras de la precisión y la elegancia (la sencillez) lógica. En adelante, voy a simbolizar a la conjunción con , a la negación con  y a la disyunción con . Los elementos simples se suelen simbolizar con letras minúsculas a partir de p cuando hablamos de enunciados determinados, pero, en el caso de hablar de cualquier enunciadolo usual es recurrir a letras mayúsculas, iniciando con A. En lo que resta continuaremos con los enunciados introducidos hasta aquí.
CONJUNCIÓN. La conjunción que vimos antes la podemos simbolizar así:
p		q	
F	F	F	
F	V	V	
V	V	F	
V	V	V	

NEGACIÓN. Es un caso obvio:

	r	
V	F	
F	V	

DISYUNCIÓN. A su vez, la disyunción:

p		s	
F	F	F	
F	V	V	
V	V	F	
V	V	V	

IMPLICACIÓN. Hay, por supuesto, muchas otras conectivas. Como el interés de esta presentación no es emplear a las tablas de verdad para analizar las diferentes conectivas, voy a introducir ahora sólo la tabla de verdad de una conectiva que empleare en lo que resta. Esta conectiva es la implicación e, insisto, renuncio desde ahora a discutirla en ningún grado. Haré sólo una pequeña descripción se su definición. Esta descripción estará basada en su tabla de verdad. Supongamos que tenemos la implicación:

Si voto entonces soy un ciudadano libre

Que podemos simbolizar, de un modo no especialmente atrevido, como:

pq
Donde p simboliza “yo voto” y q “soy un ciudadano libre”. El signo  (herradura) puede leerse como “si... entonces...” Llamamos, sin mucha osadía, “antecedente”, al elemento simple entre “si” y “entonces”, y designamos “consecuente”, al enunciado simple escrito después de “entonces”. En este enunciado p es el antecedente y q el consecuente de esta implicación. Su tabla de verdad de verdad es:

p		q	
V	V	V	
V	F	F	
F	V	V	
F	V	F	

La definición de la implicación que puede leerse en esta tabla de verdad consiste en que la implicación es falsa cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, en todos los demás casos es verdadera. En otras palabras: el análisis veritativo de una implicación muestra que ésta se interpreta como falsa únicamente cuando se da el caso de que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso, mientras que en cualquier otro caso los valores de verdad de la implicación determinan que es verdadera. Por ahora baste con esto. Hay discusiones muy interesantes entorno a la implicación y los matices de comprensión que podemos hacer entre ella y el condicional y la implicación material, pero, para los modestos objetivos de este trabajo esto es suficiente. La mayoría de los buenos libros de lógica discuten con detalle estos matices. Dejemos con una última consideración esta sección.
No representa demasiado esfuerzo resolver cualquier tabla de verdad con los procedimientos analizados hasta aquí. Es más, si continuamos con este procedimiento las tablas de verdad pueden ser instrumentos bastante mecánicos y tediosos. Sospecho que para muchos de nosotros las tablas de verdad pueden ser exquisitos elementos de tortura: he visto alumnos afanados defendiéndose de los minuciosos renglones de tablas de verdad de hasta ¡5 variables! Es necesario confesar que es trivial resolver algo así. Con todo, incluso en los casos en donde tenemos que enfrentar tablas de verdad extremadamente laboriosas (por ejemplo, en ciertas pruebas de validez), podemos recurrir a un procedimiento menos mecánico y ciertamente más elegante. Este procedimiento puede llamarse “Procedimiento no desesperante” de aplicación de las tablas de verdad y se discute en la siguiente sección. 
6.	Procedimiento no desesperante.
El procedimiento que voy a proponer ahora es tan bien un procedimiento mecánico, pero exige razonar más sobre el papel de las tablas de verdad como instrumento de análisis y, por otra parte, constituye un procedimiento más elegante que el expuesto hasta aquí. Consideremos el siguiente enunciado compuesto:

Mi voto no cuenta y o voté o la política es una farsa

En el procedimiento no desesperante primero enfocamos la conectiva principal. Es una conjunción. Lo que sabemos, por la tabla de verdad que revisamos antes, es que la conjunción es verdadera sólo cuando los dos conyuntos son falsos. En todos los demás casos es verdadera. De modo que tenemos que revisar los conyuntos donde se cumple que ambos sean verdaderos, por definición sabemos que todos los demás casos son falsos. El procedimiento, en pocas palabras, consiste en atender al caso donde se presenta la excepción más marcada en la definición de la conectiva que estemos computando. Veamos entonces:

Mi voto no cuenta y o voté o la política es una farsa

	r		(p		q)	
V	F		F	F	F	
V	F	V	F	V	V	
F	V		V	V	F	
F	V		V	V	V	
1		3		2		

En este caso calculamos sólo el renglón marcado con azul. Para interpretar esta conjunción (marcada con el número 3), tomamos en cuenta las columnas 2 y 1. El resto de los elementos y sus cálculos nos son ya conocidos. Este renglón marcado en azul contiene el único caso donde esta conjunción está determinada como verdadera. Por definición sabemos que todos los demás casos son falsos. Podríamos, con toda confianza, simplemente escribir F en las restantes casillas de la columna 3. Buscando el renglón con al aplicación más fuerte de la definición de esta conectiva nos ahorramos el trabajo de calcular los demás renglones. Quizá no parece todavía una gran ventaja, pero consideremos, el siguiente caso:

Voté y la política no es una farsa o no es verdad que voté y que fue por quien yo quise

¿En qué casos es verdadero este compuesto y en qué casos es falso?

(ps)(pq)

p	q	s	(p			s)			(p		q)	
V	V	V		F	F		F	F		V		
V	V	F		V	V		V	F		V		
V	F	V					V					
V	F	F					V					
F	V	V					V					
F	V	F					V					
F	F	F					V					
F	F	V					V					
Orden de solución 		4	3		5	2		1		

La tabla muestra que la formula está determinada como verdadera en todos los casos, excepto en el primer renglón. En otras palabras, que si p, q o son verdaderas, el compuesto (ps)(pq) se interpreta como falso.
Este ejemplo no es tan desesperante como el procedimiento exhaustivo (en el cual tendríamos que llenar todas y cada una de las casillas de la tabla de verdad) y nos ofrece la misma información. Este procedimiento es así más elegante. Es decir que, con menos trabajo y con menos elementos presentes en la tabla de verdad obtenemos la misma información (la función veritativa de este compuesto), que recurriendo al procedimiento completo de cálculo. Veamos cómo se soluciona esta tabla.
El orden de solución está marcado con los números debajo de la tabla. Sabemos que todo el compuesto es una disyunción, de modo que por definición podemos asegurar que será falsa sólo en caso de que ambos disyuntos (aquí agrupados en paréntesis) sean a la vez falsos. Esto es todo lo que tenemos que buscar en esta tabla, porque, por la misma definición, sabemos que todos los demás casos serán falsos. Iniciando con el disyunto de la izquierda notamos que se trata de la negación de una conjunción. Una conjunción se interpreta como verdadera sólo cuando sus conyuntos son asimismo verdaderos. Como esta conjunción está negada, entonces sabemos que sólo los casos donde la conjunción es verdadera, el compuesto completo de la disyunción podría estar determinado a ser falso. Veamos entonces. Es evidente que esta conjunción sólo puede ser verdadera en los dos primeros renglones (1). Son justamente los únicos casos donde la conyuntos p y q determinan que sea verdadera. De modo que sólo los primeros dos renglones de esta negación serán falsos (2). Ahora sólo tenemos que verificar si el otro disyunto –una conjunción- es falso en cualquiera de estos dos renglones. Si se presenta esto, entonces el compuesto podrá interpretarse como falso. Resolvemos entonces, en este disyunto, el elemento que afecta a menos elementos simples: la negación de s (3). Esto nos arroja que el primer renglón es falso, de modo que sabemos ya que todo la conjunción es falsa en este caso (recordemos que una conjunción es falsa si al menos uno de sus elementos es falso), podemos entonces escribir F debajo de la conectiva  (4). Revisamos ahora el siguiente renglón. En este caso p es verdadero, de modo que escribimos V debajo de la F anterior (nuevamente en 4). Con esto podemos ya enfrentar a la disyunción principal. Vemos que ésta (marcada en azul y con el número 5), se resuelve tomando en cuenta los datos de las columnas 2 y 4. Por definición sabemos que sólo el primer renglón está determinado a ser falso, es decir, el caso cuando ambos disyuntos son falsos. Podemos escribir, con toda liberalidad, V en el resto de esta columna. Sabemos que es lógicamente imposible que en esta columna, en cualquier otro caso, este compuesto pueda ser interpretado como falso. Y esto es todo. Sólo tuvimos que ser atentos con dos renglones (en vez de los demandantes 8 de toda la tabla de verdad) y obtuvimos elegantemente el análisis veritativo funcional de este compuesto.
Quizá deberíamos hacer aquí más ejercicios aplicando este procedimiento, pero quisiera indicar todavía una aplicación importante de las tablas de verdad. En nuestros cursos debemos tener presente, como nos recordó Raúl Orayen en su sesión de este ciclo (18 de mayo de 2000), que la única manera de aprender lógica es resolviendo masivamente ejercicios. Esto es, por supuesto, cierto. Con nuestros alumnos podemos resolver, empleando este procedimiento, muchos ejercicios de tablas de verdad. Así que continúo con el punto E de mi plan para esta presentación.
7.	Uso de las tablas de verdad: Aplicación de las tablas de verdad como “justificación” de las reglas de inferencias que presenta Irving Copi.

En su muy conocido libro, Copi ofrece 9 reglas de inferencia.
Las tabla de verdad pueden ayudarnos a entender por qué estas reglas son válidas.
Copi mantiene que la inferencia deductiva es válida si no se presenta el caso que de premisas verdaderas se derive una conclusión falsa.

ADICIÓN. Quizá la regla más sorprende que podamos encontrar en la colección de Copia sea la que la adición. Esquemáticamente, la adición es:

p

pq

Es decir, dado un enunciado cualquiera, p, de éste podemos inferir la disyunción de este enunciado con cualquier otro enunciado (por ejemplo pq). Esta sorprendente inferencia es válida y podemos corroborar esto mediante una tabla de verdad:

p	v	q	
V	V	V	
V	V	F	
F	V	V	
F	F	F	

Conclusión

Premisa

Lo que nos interesa es examinar la relación entre la premisa y la conclusión. En esta tabla de verdad (que propongo como ejemplo de cómo aplicar las tablas de verdad en relación con las reglas de inferencia) hay que tener presente que p tiene función de premisa y de disyunto de la conclusión, si enfocamos el compuesto de la disyunción. El examen de la relación entre la premisa y la conclusión muestra que en los primeros dos renglones de la tabla de verdad las premisas son V y la conclusión también. Hasta aquí no hay ningún problema. Más interesante es la cuarta casilla de la conclusión, sombreada para destacarla. En este caso podemos albergar algún recelo justificado sobre la validez de la adición porque hemos arribado a una conclusión falsa. Sin embargo, vemos que la inferencia es confiable porque la premisa en este caso (en este renglón) también es falsa. Es decir, no se da el caso que de premisas verdaderas derivemos una conclusión falsa. Se puede también hacer una consideración interesante respecto del tercer renglón de la adición. En este caso la conclusión es verdadera, aun cuando la premisa sea falsa. Tampoco es un problema grave. Muchas veces partimos de bases falsas y, por cualquier razón (incluso por buena suerte), arribamos a verdades, triviales o interesantes. Este puede ser el caso que se representa en el tercer renglón. Todo esto muestra que la adición es válida, es decir, que en ella no se da el caso que de premisas verdaderas se deduzca una conclusión falsa. Nuestro examen de los renglones de la tabla de verdad muestra, en efecto, que en la adición siempre que tenemos premisas verdaderas, inferimos una conclusión también verdadera. Con lo que se satisface el criterio que hemos establecido para calificar como válida a una inferencia. Aplicar de este modo a las tablas de verdad constituye también una aplicación no exhaustiva y, sí, elegante. Con una sola tabla de verdad y con atención dirigida a los aspectos relevantes del concepto de validez propuesto por Copi podemos aceptar satisfactoriamente que la adición es válida. Comparemos ahora dos casos más interesantes. Ahora voy a discutir la aplicación de las tablas de verdad en relación con la validez del Modus Ponens y la invalidez de la forma argumentativa que llamamos “Falacia de afirmación del consecuente”.
	Supongamos que tenemos los enunciados simples “está mi primo en la tarde” y “se escucha el noticiario de López Dóriga”. Con estos enunciados podemos ahora ofrecer dos ejemplos paralelos de las formas argumentativas que deseo discutir. Veamos la siguiente tabla.

Modus Ponens	Falacia de afirmación del consecuente:	
Si está mi primo en la tarde entonces se escucha el noticiario de López Dóriga	Si está mi primo en la tarde entonces se escucha el noticiario de López Dóriga	
Está mi primo	Se escucha el noticiario de López Dóriga	
Por lo tanto,	Por lo tanto,	
Se escucha el noticiario de López Dóriga	Está mi primo	

No es difícil apreciar en estos reemplazos la forma válida y la forma inválida. En el lenguaje ordinario no es raro emplear el Modus Ponens. Fácilmente podemos aceptar que si las premisas del Ponens son verdaderas, entonces es necesariamente verdadera la conclusión. Pero también es notorio que si alguna de las premisas es falsa, la conclusión también es falsa. Podemos hacer consideraciones similares para la falacia de afirmación del consecuente.
	Nadie tendría problemas para aceptar que la conclusión de la forma falaz puede ser falsa aun cuando las premisas sean verdaderas. Detengámonos en esto. Es verdad que si mi primo está en la tarde, entonces escucha [invariablemente] el noticiario de López Dóriga. También aceptemos que puede ser verdad que esta tarde se escucha el noticiario de López Dóriga. Hasta aquí las dos premisas son verdaderas. Sin embargo, lo importante es que esta forma falaz no garantiza que podamos deducir una conclusión verdadera. De la verdad de estas premisas no se sigue necesariamente la verdad de la conclusión. Mi primo puede no estar y tal vez mi vecino sintonizó a López Dóriga, o tal vez mi primo programó su radio para que se encendiera sólo, etcétera. Podemos encontrar muchas situaciones donde siendo verdaderas las premisas no se sigue necesariamente la verdad de la conclusión. En el caso del Modus Ponens esto sencillamente no se presenta. Bajo la forma argumentativa del Ponens no podemos encontrar un solo caso donde siendo verdaderas las premisas la conclusión no sea verdadera. En esto reside nuestra confianza en la validez del Modus Ponens y, por contraste, en esto mismo reside nuestra desconfianza hacia la falacia de afirmación del consecuente: la falacia de afirmación del consecuente puede defraudarnos muchas veces. Tratemos de apreciar todo esto mediante las tablas de verdad. Recurriendo al método no desesperante podemos mostrar todo lo que hemos dicho hasta ahora sólo con la siguiente tabla.

p	q	pq	
V	V	V	
V	F	F	
F	V	V	
F	F	V	

Tenemos aquí, aparentemente, sólo la tabla de verdad de la implicación, pero en realidad con esta tabla de verdad podemos analizar los dos casos que nos interesan. Para esto, simbolicemos ahora estas formas argumentativas. Tal como lo hace Copi tendríamos:

Modus Pones:	Falacia de afirmación del consecuente:	
pq
p
____
q	pq
q
____
p	

MODUS PONENS. Sin duda para todos son bien conocidas estas estructuras argumentativas. Sabemos que el Modus Ponens constituye, de manera casi ejemplar, una forma argumentativa válida, mientras que la segunda forma es inválida. La pregunta que quiero responder, con este uso no desesperante de las tablas de verdad, es la siguiente:
¿Cómo se aprecian en las tablas de verdad la validez y la invalidez de estas formas argumentativas?
Dediquemos nuestra atención primero a la falacia. Tenemos que recordar que de acuerdo con Copi esta forma argumentativa es inválida si mostramos con las tablas de verdad un solo caso en donde tengamos al menos un renglón donde las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Este caso nos haría sospechar de esta forma argumentativa. Equivaldría a encontrar una situación donde a pesar de que sea verdad tanto como que si mi primo está en casa entonces escucha a López Dóriga como que, en efecto, se escucha López Dóriga, sea falso, a pesar, pues de todo esto, que mi primo está en casa. Pareciera que en ciertos casos aplicar esta forma argumentativa podría conducirnos a derivar falsedades de premisas verdaderas. Una gran pérdida por supuesto. Lo notable de las formas válidas es que son inmunes a estas pérdidas. Es decir, su forma garantiza totalmente que si tenemos premisas verdaderas inferimos necesariamente conclusiones verdaderas. En esto consiste precisamente el encanto de la colección de formas argumentativas de Copi. Pero volvamos a nuestra falacia.
	Si analizamos la tabla de verdad tenemos que ubicar, en primer lugar, cuáles columnas representan a las premisas y cuáles a la conclusión:

1ª Premisa

Conclusión 

2ª Premisa

p	q	pq	
V	V	V	
V	F	
¡Falacia! Este renglón muestra que esta forma argumentativa es inválida.

F	
F	V	V	
F	F	V	

Ahora tenemos que buscar si se da un caso, un renglón, donde se presente que de premisas verdaderas se infiera una conclusión falsa. Precisamente lo que muestra el tercer renglón, marcado con amarillo. Este único caso justifica que seamos  implacablemente recelos de esta forma argumentativa (al menos bajo un régimen de inferencia deductiva). Veamos como funciona la tabla de verdad con el Modus Ponens:

1ª Premisa

2ª Premisa 

Conclusión

p	q	pq	
V	V	V	
V	F	F	
F	V	V	
F	F	V	

Es obvio que no hay ningún caso que nos haga sospechar de la entereza deductiva del Ponens. Son interesantes los renglones 2 y 4 de la tabla. En estos se da respectivamente, que una de las premisas es falsa y que también la conclusión es falsa. Pero esto cae fuera del criterio de validez que estamos aquí sosteniendo.
	En efecto, en ambos casos no inferimos una falsedad de premisas verdaderas. Lo que sucede en estos casos es que desde un principio teníamos una empresa pérdida: ¿qué podemos esperar inferir de falsedades? Con suerte alguna verdad, pero tampoco es necesario. El Ponens garantiza al menos que la verdad se mantenga. Por eso esta forma argumentativa es válida. Todo esto es quizá demasiado abstracto. 

p  q
 p
Por lo tanto,
 q

En nuestros cursos es siempre interesante invitar a los alumnos a demostrar con este método la validez del resto de las reglas de Copi. Al mismo tiempo, es interesante contrastar las formas válidas con las inválidas. Me parece que sobre todo con estudiantes de preparatoria es especialmente interesante tratar de encontrar ejemplos en el lenguaje natural e invitarlos constantemente a racionalizar sobre la invalidez de muchas formas falaces. Podríamos preguntarles, por ejemplo:

¿Por qué no es válido deducir p  q de p?
¿Es válida la inferencia siguiente inferencia de la derecha?

¿Dado p  q y q, qué podemos inferir válidamente de esto? ¿Qué no podemos inferir válidamente de esto?

Estos son algunos ejemplos acerca de cómo podemos aplicar las tablas de verdad de un manera constructiva y, sobre todo, no tediosa ni mecánica. Creo que mantener este enfoque sobre ellas las puede hacer mucho más atractivas de lo que suelen ser. Además, al trabajar de este modo se tiene un procedimiento alternativo para hacer significativo el concepto de validez de las reglas de inferencia.
DILEMA CONSTRUCTIVO. Voy a terminar con una aplicación del método no desesperante al dilema constructivo. Como ustedes saben, tal como la presenta Copi, esta regla tiene la siguiente forma argumentativa:
(pq)(rs)
pr
_______________
qs
La tabla de verdad de esta regla es necesariamente monstruosa y sí, muy tediosa de resolver. Si la resolviéramos empleando el procedimiento tradicional, exhaustivo, donde tenemos que resolver cada casilla de la tabla, tendríamos el siguiente horror:
	1a premisa	2a Premisa	Conclusión.	
p	q	r	s	(pq)(rs)	p  r	q  s	
V	V	V	V	V	V	V	V	V	
V	V	V	F	V	F	F	V	V	
V	V	F	V	V	V	V	V	V	
V	V	F	F	V	V	V	V	V	
V	F	V	V	F	F	V	V	V	
V	F	V	F	F	F	F	V	F	
V	F	F	V	F	F	V	V	V	
V	F	F	F	F	F	V	V	F	
F	V	V	V	V	V	V	V	V	
F	V	V	F	V	V	V	V	V	
F	V	F	V	V	V	V	F	V	
F	V	F	F	V	V	V	F	V	
F	F	V	V	V	V	V	V	V	
F	F	V	F	V	V	V	V	F	
F	F	F	V	V	V	V	F	V	
F	F	F	F	V	V	V	F	F	

En cambio, si la abordamos con el método no desesperante:

	1ª Premisa	2ª Premisa	Conclusión	
p	q	r	s	(p		s)		(r		s)	p		r	q		s	
V	V	V	V														
V	V	V	F														
V	V	F	V														
V	V	F	F														
V	F	V	V														
V	F	V	F				F		F			V			F		
V	F	F	V														
V	F	F	F		F		F		V			V			F		
F	V	V	V														
F	V	V	F														
F	V	F	V														
F	V	F	F														
F	F	V	V														
F	F	V	F				F		F			V			F		
F	F	F	V														
F	F	F	F									F			F		
Orden de resolución				4		3			2			1		

Aplicar aquí el procedimiento no desesperante no es realmente difícil y sí puede resultar mucho más interesante. En clase podemos animar a los alumnos a diseñar por ellos mismos el procedimiento de aplicación no desesperante. Es preciso que tengan bien claro qué estamos buscando con todo esto y tratar de conducirlos, mediante preguntas y observaciones, a que ellos mismos formen el siguiente proceso de resolución de esta tabla.
Es preciso tener bien claro, de antemano, que lo que buscamos es exclusivamente probar que el dilema constructivo es una forma argumentativa deductivamente válida. Por ahora ninguna otra cosa importa. De otro modo: sólo tenemos que buscar los casos (los renglones) donde se presente que la conclusión es falsa y las premisas verdaderas. Si se presenta esto sabremos entonces que esta forma argumentativa es inválida. Por definición del criterio de validez que ahora discutimos (el propuesto por Copi) sabemos que en cualquier caso donde la conclusión sea verdadera la forma argumentativa no representa ningún problema y, entonces, podemos obviar estos casos, simplemente dejándolos en blanco. Sabemos de antemano que las casillas correspondientes se interpretarían como verdaderas. Lo único, insisto, que haría inválido al dilema constructivo sería un  sólo caso donde las premisas fueran verdaderas y la conclusión falsa. Por ello, es obvio que nuestro examen debe comenzar por la columna de la conclusión y ubicar los casos donde la conclusión es, precisamente, falsa. Para determinar esto simplemente aplicamos la definición de la disyunción a qs, es decir, la conclusión. Sabemos que es falsa sólo si ambos disyuntos son al mismo tiempo (en el mismo renglón) falsos. Esto es lo que se registra en la tabla: son precisamente los renglones marcados con azul. Ahora podemos examinar las premisas.
Podemos preguntar a nuestros alumnos: ¿qué es lo que estamos buscando? El procedimiento que tenemos entre manos nos lleva a contestar que únicamente aquellos casos donde las premisas sean verdaderas. Si alguna de las premisas es falsa entonces podemos obviar la resolución de todo el renglón, porque sabemos de antemano que este renglón no mostrará que esta forma argumentativa es falsa. Lo más sencillo, nuevamente, es considerar la segunda premisa.
	Se trata nuevamente de una disyunción. Buscamos entonces los casos donde la disyunción es falsa en los renglones que nos interesan (nuevamente, ninguna otra cosa importa): hay únicamente un caso, el último renglón. Podemos detener aquí nuestro examen de este renglón. El dilema constructivo es válido aun cuando todos sus elementos simples sean falsos. Pero todavía tenemos que revisar los demás renglones. No tenemos más remedio que enfocar ahora a la conjunción, o sea, a la primera premisa.
	Sabemos que una conjunción es verdadera sólo si sus conyuntos son ambos verdaderos. Como se trata de la conjunción de dos implicaciones tenemos que resolver primero cada conyunto aplicando la definición de la implicación: una implicación es falsa sólo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso, en todos los demás casos es verdadera. Empezando con la implicación de la izquierda no es difícil determinar que dos de los renglones son falsos. Aquí detenemos nuestro examen de estos renglones: sabemos que la conjunción es falsa y es precisamente lo que escribimos en nuestra tabla, debajo de la conjunción. Nuevamente, estos renglones no mellan en manera alguna nuestra confianza en la validez deductiva del dilema constructivo. Sólo nos queda un candidato sospechoso: el renglón de la implicación de la izquierda es verdadero.
	Tenemos que resolver, entonces, la implicación de la derecha, el otro conyunto. Afortunadamente para el dilema constructivo este renglón está determinado como falso, con lo que, por definición, la conjunción es falsa. Con esto terminamos nuestro análisis y podemos, satisfactoriamente, aprobar la validez de esta forma argumental. En ella, precisamente, no se da el caso que se infiera una conclusión falsa de premisas verdaderas.
Como se aprecia claramente en este ejemplo, el trabajo con las tablas de verdad puede reducirse bastante. Con esta tabla, empleando el método no desesperante, obtenemos la misma información que siguiendo un procedimiento de resolución exhaustivo de las tablas de verdad. Creo que podemos  calificar a esto como la “elegancia del método no desesperante”.
8.	Nota histórica sobre las tablas de verdad.
El procedimiento de razonamiento que seguimos en las tablas de verdad fue diseñado por Frege, Peirce y Schröder, alrededor de 1880. Desde 1920 las tabla de verdad ocupan un lugar central en los estudios de lógica (en trabajos de Lukasiewicz, Post o Wittgenstein). El propio Quine, en su Mathematical Logic, ofreció un método de resolución abreviado, en el cual base el “método no desesperante” que presenté…
Nota adaptada de:  Quine, Los métodos de la lógica. (Tr. J. J. Acero y N. Guasch.) Barcelona: Ed. Ariel, 1981.
9.	Apoyos bibliográficos
Para esta presentación me apoyé exclusivamente en los siguientes dos textos:
Quine, Los métodos de la lógica. (Tr. J. J. Acero y N. Guasch.) Barcelona: Ed. Ariel, 1981.
Irving M. Copi y Carl Cohen, Introducción a la lógica. (Tr. de E. A. Gónzalez R.). México: Ed. LIMUSA, 1995. (Esta edición en español es una traducción de la 8ª edición en inglés).
10.	Notas al texto