COMPARACIONES ENTRE ALGUNOS MODOS DEL SILOGISMO Y LAS REGLAS DE INFERENCIA LÓGICA.

Mtro. J. Antonio M. Olvera González

Profesor-investigador de la Universidad Autónoma de Querétaro.

Introducción.

En la materia de Lógica I que se imparte en el primer semestre, en la Escuela de Bachilleres de la Universidad Autónoma de Querétaro, se aborda en forma exhaustiva el razonamiento deductivo en forma de silogismo aristotélico y en la última unidad del programa de estudios, llamada lógica simbólica, las reglas de inferencia. En otros términos abordamos un conocimiento de hace más de dos mil años, como lo es las formas silogísticas de razonamiento, escritas en el Organon por Aristóteles. Y analizamos y ponemos en práctica las reglas de inferencia lógica, las cuales constituyen una de las bases de las teorías lógicas más consistentes; como lo es la lógica simbólica.

En este artículo nos proponemos comparar los silogismos darii y barbara con las reglas de inferencia modus ponendo ponens y el silogismo hipotético, respectivamente. Analizaremos sus estructuras de razonamiento y nos ayudaremos de los diagramas de Venn-Euler para realizar la comparación. Partimos de la idea de que ambos temas, en esencia, son lo mismo, o que el segundo es una elaboración más formalizada (axiomátizada) del primero. Existe en algunos profesores la creencia de que son conocimientos distintos y sin alguna relación, incluso la mayoría de textos de lógica así los presentan.

Creemos que la división de la lógica en lógicas o en tipos de lógica no expresa diferencia entre formas fundamentales de concebir la lógica, sino diversificación de campos para la exploración. Muchos de estos campos de la lógica se entrecruzan, como es el caso de la silogística aristotélica y las reglas de inferencia de la lógica simbólica. Tal vez estaríamos comparando paradigmas, en este caso el aristotélico y el de la lógica simbólica, donde el segundo ha intentado absorber al primero, sin haberlo logrado y más bien lo que ocurre es su complementariedad. En este sentido, no hay que olvidar que los historiadores de la lógica, de este siglo, han desenterrado muchas de las riquezas de la teoría silogística clásica y la han presentado en la forma propia de la lógica simbólica.

Por otra parte es necesario resaltar las dificultades que tienen los alumnos para desarrollar un razonamiento lógico del tipo que aquí se examina.

Este tipo de razonamientos representa un problema nuevo para los estudiantes. Muchas de esas dificultades nosotros como profesores se las provocamos. Ellos mismos presentan dificultades inherentes a su maduración mental y psicológica, por el hecho de que están en el transito de un razonamiento concreto, donde necesitan relacionar sus planteamientos con cuestiones reales o prácticas, a un razonamiento abstracto, que les permitirá abordar temas de naturaleza formal. Precisamente los silogismos, como forma de razonamiento caen más en el razonamiento concreto y las reglas de inferencia son más del razonamiento formal o abstracto.

Desarrollo.

Aristóteles definió el silogismo como un argumento en el cual, establecidas ciertas cosas, resulta necesariamente de ellas, por ser lo que son, otra cosa distinta de las antes establecidas. Esta definición por ser tan general se puede aplicar a la inferencia deductiva general. También da pié a pensar que el silogismo es la forma principal o única de razonamiento deductivo, cosa más errónea. El silogismo es un tipo especial de inferencia en las cuales se establece un proceso de deducción que conduce a establecer una relación de tipo sujeto-predicado partiendo de enunciados que manifiestan asimismo la relación sujeto-predicado. En este proceso deductivo, además, se supone que la conclusión -que consta de dos términos- es inferido de dos premisas, cada una de las cuales tiene asimismo dos términos, uno de los cuales no aparece en la conclusión.

En términos generales sabemos que existen 4 figuras y 19 modos en la teoría silogística reelaborada y presentada ya más formalizada por los escolásticos medievales (siglo XIII). En este artículo, como dijimos más arriba, solamente compararemos los modos darii y barbara de la primer figura.

En cuanto a las reglas de inferencias son formas de razonamiento ya comprobadas, que rigen el uso de los conectivos lógicos y el paso de las premisas a la conclusión. Las reglas de inferencia constituyen un método más rápido y fácil que las tablas de verdad para comprobar razonamientos lógicos simbolizados. En el cálculo proposicional, y en general en todo proceso deductivo, no es suficiente la intuición, sólo la regla de inferencia justifica el paso de una expresión lógica a otra.

Regularmente se trabajan 14 reglas de inferencia, en este articulo analizaremos el modus ponendo ponens y el silogismo hipotético.

Algunos elementos de consideración antes de realizar las comparaciones.

Antes de realizar las comparaciones es necesario precisar varios aspectos tanto de la lógica tradicional a la que corresponde la teoría silogística como

lo que se refiere a la lógica simbólica a la que corresponde las reglas de inferencia, relativos:

a) al tipo de enunciados y la simbolización, ya que en la silogística tradicional se trabaja con enunciados de tipo universal y particular y en la lógica simbólica se trabaja con proposiciones simples y compuestas y con conectivos lógicos, Esto nos lleva a precisar que un enunciado de tipo universal afirmativo de la lógica tradicional corresponde, o es equivalente, a una proposición condicional o también llamada implicación. Por ejemplo si decimos:

Todos los peces viven dentro del agua es equivalente a decir Sí es un pez entonces vive dentro del agua.

la primera se simboliza con una letra A, por ser un enunciado de tipo universal afirmativo y la segunda se simboliza como una proposición condicional o implicación; P implica Q.

b) al valor de verdad de los enunciados, ya que en la silogística tradicional se trabaja con enunciados verdaderos y en la lógica simbólica se trabaja con proposiciones verdaderas y falsas a la vez. Lo que interesa en esta última es la estructura correcta del razonamiento, su validez lógica, más que la verdad o falsedad de las proposiciones que la componen.

c) A las formas de comprobar los razonamientos, ya que en la silogística se realiza por evidencia intuitiva y por coherencia lógica de acuerdo a las figuras y modos del silogismo. En cambio en la lógica simbólica los razonamientos se comprueban mediante tablas de verdad o aplicando reglas de inferencia, es decir la comprobación es más rigurosa y formal.

Primera comparación.

Silogismo darii

A: Todos los perros son carnívoros

I: manchas es un perro

----------------------------------------------------

I: manchas es carnívoro

regla de inferencia modus ponendo ponens

P implica Q . P subconjunto de Q Sí es un perro entonces es carnívoro

P x elemento de P manchas es un perro

----------------------- ------------------------ -----------------------------------------------------

Q x elemento de Q manchas es carnívoro

Comentario.

Como se observa, en este silogismo usamos el enunciado universal afirmativo (A) para la premisa mayor. En cambio en la regla modus ponendo ponens se utiliza, para la primer premisa, el conectivo sí...entonces, que corresponde a la implicación, resultando la misma estructura de razonamiento.

La segunda fórmula del modus ponendo ponens está en términos de clases o conjuntos, se evidencia el razonamiento de esta regla de inferencia. Ya que al ser el conjunto que corresponde a P, subconjunto de Q, necesariamente un elemento que pertenece a P, pertenece a Q.

Segunda comparación.

silogismo barbara

A: Todos los seres humanos piensan

A: Todos los que razonan son seres humanos

------------------------------------------------------------------

A: Todos los que razonan piensan

regla de inferencia llamada silogismo hipotético

(a) (b) (c)

P implica Q Si es un ser humano entonces piensa Si razona entonces es un ser humano

Q implica R Si razona entonces es un ser humano Si es un ser humano entonces piensa

------------------- ---- ------------------------------------------------- -----------------------------------------------------

P entonces R Si razona entonces piensa Si razona entonces piensa

(b*) P implica Q

R implica P

---------------

R implica Q

Comentario.

En esta comparación sucede algo curioso: primero, al hacer equivalentes cada una de las universales afirmativas con una proposición del tipo sí...entonces nos queda la forma (b) y simbolizado quedaría (b’), la cual tiene una estructura de silogismo hipotético, con la ligera variante de que las premisas están en orden distinto, pero sabemos que esto no altera la estructura de razonamiento, ni su conclusión. Cambiando de orden las premisas nos quedaría (c), con lo cual el razonamiento tendría la forma clásica del silogismo hipotético (a).

Segundo, sí damos una letra a cada término para simbolizarlas, nos quedaría: P: ser humano, Q: piensa y R: razonan, con lo cual nos queda la forma (b’), pero por cuestión un poco rara no nos queda la forma típica del silogismo hipotético que corresponde a la fórmula (a); como aparentemente sería al reescribir el silogismo barbara, cambiando las premisas universales afirmativas por implicaciones. Aquí se manifiesta como el lenguaje verbal nos lleva a curiosidades y paradojas difíciles de entender, en términos de la lógica, tanto tradicional como simbólica. Somos conscientes de que el lenguaje ordinario no plantea tantos problemas en la vida cotidiana sino los plantea, cuando este lenguaje es empleado para propósitos teóricos.

Estas ambigüedades del lenguaje presentes en la lógica tradicional, se pretende eliminar en la lógica simbólica, mediante la simbolización de las proposiciones y sobretodo con el uso de los conectivos lógicos, lográndose mínimamente.

Diagramas de Venn-Euler

En este caso que nos ocupa, recurriremos a las gráficas o diagramas de la lógica de clases, en especial a los de Venn-Euler, para seguir analizando las similitudes entre los silogismos darii y barbara y las reglas de inferencia modus ponendo ponens y silogismo hipotético. Los diagramas de clases se han utilizado, con ciertas interpretaciones, tanto en lógica tradicional , como en la lógica simbólica. Aquí nos encontramos con un problema particular, que consiste en la forma o procedimiento que se utiliza para hacer los diagramas de los silogismos.

En este problema existe en el fondo una discusión respecto a la teoría del silogismo, por un lado el punto de vista de la extensión, donde se tiene que el término mayor incluye al medio, que a su vez incluye al menor. El punto de vista de la comprehensión, donde se dice que una propiedad general es inherente al atributo colocado como término medio, y ese atributo pertenece al sujeto o término menor. Es decir lo que esta implicado para el genero esta implicado para la especie. Cada genero posee una esencia y que toda especie de ese genero posee los caracteres y las propiedades inherentes a la esencia determinada. Incluso para algunos autores el silogismo sólo es fecundo si se considera en su comprehensión.

Por ejemplo en la lógica tradicional se dice que el principio general del silogismo, desde el punto de vista de la extensión, al que nos apegamos para los diagramas, consiste en que: lo que se afirma o niega de todos los individuos de una clase, se afirma o se niega de cualquier número de individuos de esa clase.

Por tanto un silogismo darii se simboliza de la forma siguiente:

T

todos los M son T

Algunos t son M t M

-------------------------

Algunos t son T

La regla de inferencia modus ponendo ponens se simboliza:

Q

P entonces Q P entonces Q P

P x elemento de P x.

----------------- , -----------------------

Q x elemento de Q

El silogismo barbara se simboliza:

T

Todos los M son T

Todos los t son M M

--------------------------- t

Todos los t son T

La regla de inferencia denominada silogismo hipotético se simboliza:

R

P entonces Q

Q entonces R P Q

-------------------

P entonces R

Como se observa, las gráficas de la primera comparación son semejantes y coinciden en la parte del resultado. Es decir, el silogismo darii y el modus ponendo ponens son dos razonamientos idénticos.

En la segunda comparación los diagramas son exactamente iguales, comprobando que el razonamiento deductivo en forma de silogismo barbara es idéntico a la regla de inferencia llamada silogismo hipotético. En el caso del silogismo barbara se ejemplifica claramente la extensión (mayor, medio y menor) que deben tener los términos de acuerdo a la teoría silogística.

Se puede concluir que ambos temas de conocimiento, al ser semejantes, son complementarios y básicos, más que distintos e intranscendentes. Ya que son lenguajes, con un distinto nivel de abstracción, que nos sirven para representar la realidad y nuestros pensamientos en forma de razonamientos válidos. El silogismo es una forma de razonamiento menos abstracta que las reglas de inferencia. A los alumnos de bachillerato les atrae construir silogismos, igualmente se interesan en crear razonamientos, simbolizarlos y comprobarlos mediante reglas de inferencia. Hay que reconocer que éstos últimos les presentan mayor complejidad y, por tanto, mayor dificultad.

Sin embargo, de acuerdo a la teoría de Piaget sobre el desarrollo del pensamiento, se puede decir que, el razonamiento de los adolescentes funciona de manera semejante a los formas de razonamiento, tanto del silogismo como de las reglas de inferencia. Ya que, según este autor, el pensamiento de los adolescentes es un pensamiento de tipo formal, ya que es reversible, interno y organizado en un sistema de elementos interdependientes (INCR). Además de que en este nivel el pensamiento tiende a funcionar como un sistema mental que controla conjuntos de variables y que selecciona entre varias posibilidades.

Es importante subrayar que aunque los estudiantes de nivel de bachillerato estén en el periodo del pensamiento formal no son capaces de describirlo, no son conscientes, del todo, de como funciona su pensamiento.

Así mismo la teoría silogística es considerada como el primer sistema formal c