La Introuducción del Cálculo Proposicional.
Notas para plática. Favor de no citar.
Dr. Axel Arturo Barceló Aspeitia.
Instituto de Investigaciones Filosóficas. UNAM.
I. El Caballo de Troya
Ejemplo 1. Introduction to Logic. Irving M. Copi & Carl Cohen. 10a Edición. 1998.
Copi y Cohen empiezan su capítulo sobre lógica simbólica con un par de citas, donde Russell y Church sostienen que el simbolismo en la lógica es "necesario" para desarrollar una lógica "exacta" [p. 342], aunque ellos mismo nunca arriesgan decir mas que éste es 'deseable' [p. 347]. El simbólismo se introduce en tres pasos. Primero, se introduce ostensivamente la distinción entre oraciones simples y complejas. Del analisis 'formal' de las oraciones complejas se obtiene una noción intutiva de conectiva. Las conectivas se presentan como palabras del lenguaje natural – 'y', 'o', 'no' etc. – las cuales son abreviadas [p. 346], simbolizadas [p. 347] o representadas [p. 347] por los símbolos usuales del cálculo de proposiciones. Una vez que se han itnroducidos los conectivos simbólicos, se abrevian las proposiciones con letras proposicionales y voilá empezamos a manejar formulas del cálculo proposicional. Luego, el mismo proceso se sigue para el análisis formal de los argumentos. Es decir, se habla de la forma de un argumento en lengauje natural en terminos de los componentes de sus enunciados complejos y luego se simbolizan éstos. Finalmente, para validez, se sigue el camino contrario: primero se da una caracterización sintáctica de la validez de las formas de argumentos (se dice como reconocer, por la pura sintaxis de los 'argumentos' en lenguaje simbólico, cuándo son éstos validos) y de ahí, se define la validez para argumentos reales. Copì y Cohen definen a un argumento como válido si su forma es válida. [p. 370]
	El libro de Copi y Cohen es un ejemplo de lo que llamo el método del caballo de Troya de introducción de la lógica simbólica. Pero tal vez sería mejor llamar el método gradual de introducción del simbólismo a la lógica. En textos que siguen este método, los elementos simbólicos se introducen poco a poco durante el desrrollo de la lógica formal, de tal manera que no aparezca una ruptura muy drástica entre lógica simbólica y no-simbólica. En general, introducen primero la lógica formal en lenguaje natural y después los elementos simbólicos poco a poco como meros auxiliares expresivos en el desarrollo de la misma.
Ejemplo 2. Introduction to Logic and to the methodology of deductive scinces de Alfred Tarski (1965).
Este libro de texto – escrito por Tarski para usarse en el programa de licenciatura – presenta al cálculo proposicional como un cálculo matemático (a la par con el resto de los cálculos que conforman las matemáticas), y a la lógica como una ciencia deductiva. La primera noción introducida en el libro de Tarski es la de teoria científica y, en relación a ella, se definen las nociones de terminos variables y constantes de una teoría (y su contraparte ontológica: objetos y propiedades). Así el objetivo ["concern"] de la lógica de enunciados queda definida como el "establecer los significados precisos" de los términos más generales (vs a los propios de cada ciencia) necesarios para "llevar acabo inferencias en toda area posible de las ciencias [i.e. "no", "si, etnonces", "o", e "y"] . . . y fijar las leyes mas generales en las que estos terminos se ven envueltos" [p. 18] De ahí en adelante, Tarski sigue el metodo gradual de introducción del simbolismo.
	Seguir este método (el gradual o de Caballo de Troya) tiene la ventaja de distinguir la lógica formal de la lógica simbólica. Este tipo de método es común, por ejemplo, en textos de lógica que incluyen tanto lógica formal como informal y es recomendable para enseñar a estudiantes con antecedentes lógicos o filosóficos, o aquellos que 'temen' el simbolismo matemático. Aún Tarski, quien usa ejemplos matemáticos para elucidar la noción de forma lógica, tiene cuidado en no usar ejemplos mas compeljos que aquellos provenientes de la aritmética elemental. Por otro lado, este tipo de texto poco recomendanle para matemáticos, ya que el calculo y su sistema formal no se presentan de una manera muy rigorosa desde el punto de vista matemático. Por esto mismo, tampoco es recomendable para clases con pretensiones metalogicas o de filosofía de la lógica, ya que las nociones son introducidas de manera intuitiva, en vez de a través de definiciones estrictas. Además, los niveles de lenguaje y meta-lenguaje no aparecen distinguidos claramente. En este sentido, otro ejemplo interesante es Introduction to Mathematical Logic de Elliott Mendelson, el cual utiliza este método en sus primeras veinte páginas y solo después presenta el rigor necesario para obtener los resultados metamatemáticos requeridos de un texto mas avanzado.

III. El Corral Limpio
Ejemplo 1. Una Introducción Matemática a la Lógica de H. B. Enderton. 1972.
El texto de Enderton es un ejemplo claro de lo que llamo el método matemático o de 'Corral Limpio' de introducción del cálculo lógico. El libro empieza con una excelente y breve Introducción donde el autor presenta a la lògica proposicional como un modelo matemático del pensamiento deductivo que, sin embargo, es "muy simple y terriblemente inadecuado pra modelar deducciones interesantes [ya que] preserva sólo algunas propiedades rudimentyarias de las deducciones de la vida real" [p. 16]. El objetivo principal (aunque Enderton solo dice que es "uno de ellos") de estos modelos (la lógica simbólica en general) es  precisar un criterio de corrección lógica de argumentos. Despues de la introducción, el libro continúa con una también breve revisión de "Algunos resultados útiles de la teoría de conjuntos" antes de empezar, de lleno, con el primer capítulo propio del libro: "La Lógica de Enunciados." La introducción del cálculo proposicional ahí se da en dos partes: primero, se introduce el lenaguej simbólico y , luego, el cálculo propiamente dicho. La presentación del lenguaje toma tres pasos: primero, se distingue entre lenguajes naturales y formales (aquellos con reglas de formación precisa). Luego, se construye el lengauje del cálculo de enunciados. y, por último se dan métodos de traducción entre ambos lenguajes. El cálculo, posteriromente introducido, tiene como objeto "calcular la verdad o falsedad del compuesto a partir de las partes atómicas."
	Tal y como su título lo indica, la introducción de Enderton es una introducción 'matemática' y, como tal, es recomendable para audiencias matemáticas. Entre otras, tiene la ventaja de poner en relieve el carátcer matemático de la lógica simbólica y, en particular, del cálculo proposicional. Tras una introducción de este tipo, los estudiantes tendrán menos problemas entendiendo porque se habla de 'cálculo' proposicional y qué lo distingue de una 'teoria' o 'modelo' lógico, distinción que queda vaga en introuducciones del tipo Caballo de Troya. La transición entre lógica y metalógica es, por un lado, mas fluída.  Por lo mismo, sin embargo, tiene la desventaja de hacerla ver mas tenue de lo que relamente es, por lo menos desde un punto de vista filosófico. Como la mayoría de los textos matemáticos, introducciones de este tipo mantienen en una 'caja negra' la relación entre lenguaje objeto y lenguje modelo. Pero, por lo menos, mantine claramente separado el lenguaje del meta-lenguaje. En otras palabras, tras una introducción de este tipo, el uso del calculo proposicional y, en general, de la lógica simbolica dentro de la lógica en general queda al mismo nivel, ni mas claro ni mas oscuro, que, por ejemplo, el uso de modelos matemáticos dentro de cualquier otra ciencia.

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