"HEURÍSTICA, HIPÓTESIS Y DEMOSTRACIÓN EN MATEMÁTICAS"

Atocha Aliseda

Instituto de Investigaciones Filosóficas



"Si tomas una conclusión heurística como una certeza,

podrás equivocarte y sentirte engañado;

pero si rechazas totalmente las conclusiones heurísticas,

no harás ningún progreso"

(Polya 45, p.181).



INTRODUCCIÓN

La palabra heurística, como muchas otras ricas en contenido, aparece en más de una categoría gramatical. Cuando se encuentra como sustantivo, se identifica con el arte o la ciencia del descubrimiento, una disciplina digna de estudio. Cuando aparece como adjetivo, se refiere a cosas mas concretas como estrategias heurísticas, reglas heurísticas o incluso silogismos y conclusiones heurísticas. Claro está que estos dos usos están íntimamente relacionados ya que la heurística usualmente propone estrategias heurísticas que guían el descubrimiento.

En matemáticas, la heurística existe desde la Grecia antigua. Sin embargo, la formalización y el alto grado de rigor en matemáticas le ha restado importancia al estudio del descubrimiento, considerándolo mas bien de interés para la psicología. Aunque existe el campo de la teoría de la demostración, éste nada tiene que ver con encontrar patrones de demostración o reglas para probar teoremas(1).

Una excepción en el estudio de la heurística en matemáticas es el trabajo pionero de George Polya (1887-1985), matemático de origen húngaro, quien dedicó gran parte de su trabajo (además de sus investigaciones originales en la teoría de funciones y probabilidad) a desarrollar una teoría heurística para la resolución de problemas en matemáticas y a dar descripciones detallas de varios métodos heurísticos.

El objetivo principal del presente trabajo es el de presentar la noción de heurística en matemáticas a través del trabajo de Polya. Empezaremos por dar una visión general de los métodos de demostración en matemáticas para luego presentar el método general que Polya propone para la resolución de problemas. Después analizaremos su propuesta sobre los patrones de razonamiento plausible y finalmente discutiremos su trabajo en un contexto mas actual, en relación a otras nociones de heurística en inteligencia artificial y en lógicas no clásicas, aunque estos otros temas serán presentados muy brevemente.



PENSANDO PARA ATRÁS Y PARA ADELANTE (los métdos de análisis y síntesis)

Muchos métodos heurísticos son usados desde matemáticos griegos como Pitágoras. La noción de heurística se le atribuye a Pappus (300 d.c.), quien propone la rama de estudio denominada "analyomenos", que bien puede traducirse como "el tesoro del análisis" o "el arte de resolver problemas". Dos son las estrategias principales que se proponían para resolver problemas en geometría: la primera consiste en asumir que la solución está dada y se trabaja "desde atrás" hasta encontrarse con algo ya conocido o que se sabe verdadero. La otra es "hacia adelante": se empieza considerando el conocimiento matemático (axiomas y teoremas ya probados) y se trabaja hacia el resultado. A estos dos métodos se les denomina análisis y síntesis respectivamente.

Un ejemplo no matemático que ilustra estos dos tipos de razonamiento es el siguiente (adaptado de Polya 45, pag. 145):

"Una mujer primitiva quiere cruzar un riachuelo; pero no lo puede hacer en la forma usual porque la lluvia de la noche anterior lo ha convertido en río. Así, cruzar el río se convierte en el objetivo del problema; ¨cruzar el río ¨es la incógnita X de este problema¨. La mujer recuerda que ha cruzado otros ríos caminando sobre troncos caidos. Voltea a su alrededor buscando algún árbol caído, siendo ésta su nueva incógnita, su Y. No encuentra ningún árbol caído que le pueda servir, pero hay muchos árboles parados a lo largo del río; cómo desearía que alguno de ellos se cayera. Puede hacer que alguno de estos árboles caiga sobre el río? Aquí hay una gran idea y un nuevo objetivo: cómo hacerle para tirar uno de estos árboles sobre el río y así cruzar?

Este hilo de ideas ilustra el método de análisis. Se comienza por la meta y se infieren las condiciones necesarias para lograr este objetivo. Si esta mujer primitiva es exitosa en llevar a cabo su análisis, pudiera ser la inventora del hacha y los puentes. El método de síntesis es el de llevar a cabo estas ideas en acciones en dirección contraria: para cruzar el río, busca un tronco caido para usarlo de puente. Si no encuentras ninguno, busca el árbol más adecuado tal que al tirarlo, su tronco sirva de puente para cruzar. En general, es mas natural empezar por el método de análisis y luego realizar la síntesis. "análisis es invención, síntesis es ejecución" (Polya 45, p. 146).

En demostración matemática, estos dos métodos se pueden ilustrar como sigue: Supongamos que el problema es probar o refutar A. No sabemos todavía si A es verdadera o falsa, pero de ella derivamos otro teorema B, de B derivamos C y así hasta el último teorema L el cual conocemos como verdadero. Si L es verdadero, A también lo será, siempre y cuando las derivaciones realizadas se puedan invertir. La prueba de A tendrá entonces la siguiente forma:



L

...

C

B

----

A



Aunque las operaciones de análisis y síntesis son igualmente reconocidas como procedimientos de prueba en matemáticas y es natural suponer que toda demostración puede presentarse de una u otra forma (pues son procedimientos inversos uno del otro), ejemplos de análisis son raros en la literatura de la matemática antigua (cf. Groner etal 83, pag. 3) y cuando ocurren son generalmente seguidos por su presentación en síntesis. Esto es igualmente el caso en la matemática contemporánea: el objetivo es presentar cómo un descubrimiento, un nuevo teorema, se deriva de los axiomas y teoremas ya conocidos y demostrados, y no cómo es que se descubrieron cuáles eran esos teoremas y axiomas necesarios para poder demostrar el teorema propuesto.

La presentación de las demostraciones en matemáticas sigue el método deductivo que heredamos desde los "Elementos" de Euclides en el cual a partir de ciertos axiomas básicos, se deducen todas las verdades geométricas de la geometría elemental. Este trabajo no sólo es el primer sistema lógico en su género, sino que es aún modelo a seguir en otros campos del conocimiento. Cada proposición en geometría expuesta esta ligada (por medio de demostraciones) a axiomas previos, definiciones y proposiciones.

Asimismo, en general las reglas de inferencia (aquellas reglas que regulan los pasos válidos para pasar de un punto al siguiente) son reglas para adelante, esto es, reglas que nos dicen que a partir de ciertas premisas, se puede deducir una conclusión, como la regla del modus ponendo ponens:

A -> B

A

------------

B

Pero no hay una regla inversa de donde pueden inferirse las fórmulas A -> B y A a partir de la fórmula B. Sin embargo, existen sistemas en lógica (como el de deducción natural) donde las reglas no tienen dirección, se leen igual para adelante como para atrás:

A

B

------------

A & B

A & B

------------

A

A & B

------------

B

De las premisas A y B se deduce la conjunción A&B y de la misma forma, de la conjunción A&B se deduce tanto A como B (2). De hecho, deducción natural toma ese nombre, justamente con el propósito de diseñar un cálculo lógico que fuera mas cercano a la forma en que los humanos hacen realmente una demostración y asi combinar los métodos de análisis y de síntesis en uno solo (cf. Beth 59).

Sin embargo, no siempre es tan claro en que dirección se hace una prueba. Otro método de demostración en matemáticas es reducción al absurdo (o método de refutación). Esto es, para probar C, se supone su negación - C como verdadera, se deduce una contradicción (esto es, una proposición que no puede ser de ninguna manera verdadero, como por ejemplo A &ĜA) y entonces se concluye que - C no puede ser el caso o lo que es lo mismo, que C es verdadera:

- C

.

.

.

contradicción

------------------

C

En este método se empieza por la (negación de la) conclusión, así que en un sentido es un procedimiento desde atrás. Sin embargo, la prueba se hace hacia adelante. En la práctica, para rellenar el camino entre las premisas y la conclusión, el matemático combina los métodos de análisis y síntesis para construir sus pruebas.



DESCUBRIMIENTO EN MATEMÁTICAS

En los libros de matemáticas especializados se presentan las demostraciones usando los métodos antes expuestos y otros más, pero nunca se explica porqué o cómo el matemático los escogió y usó para obtener una demostración. Esto no se considera parte de la prueba sino mas bien de la sagacidad del matemático quien guarda para si la ruta que lo llevó a su solución. Además, en las demostraciones no hay rastros de los intentos fallidos para obtener la prueba. Cualquiera que haya probado teoremas bien sabe que al hacer una demostración es muy común intentar varios caminos antes de encontrar el exitoso.

Algunos autores consideran que hacer demostraciones es como construir un rompecabezas: ¨No hay reglas acerca de como deben ser resueltos los rompecabezas. La única regla concierne el producto final: todas las piezas deben estar en su lugar y el dibujo debe aparecer correctamente¨ (Velleman 94, pag. 82). De esta forma se hace una clara distinción entre ¨la explicación de los procesos del pensamiento para construir una prueba y la justificación de la conclusión¨ (Velleman 94, pag. 88). Mientras que lo primero se considera de interés y competencia solo para la psicología, lo segundo es la actividad principal en el quehacer matemático.

Hay sin embargo, una excepción notable en el estudio de cómo resolver problemas en matemáticas: George Polya. Su primer libro en esta dirección se titula "Cómo solucionarlo" donde presenta su teoría heurística a través de una serie de preguntas e instrucciones aplicadas a multitud de ejemplos. Le sigue su obra ¨Matemáticas y Razonamiento Plausible¨ en dos volúmenes: ¨Inducción y Analogía en Matemáticas¨y ¨Patrones de Inferencia Plausible¨. Los ejemplos del primer volumen son todos casos de problemas resueltos por inducción o analogía (discutiremos este tema mas adelante). Estos preparan el terreno para el segundo volumen que se centra en la pregunta de si hay o no una lógica de la inducción o un cálculo de credibilidad para las hipótesis. Finalmente, Polya culmina su trabajo con la publicación de ¨Descubrimiento Matemático¨, donde extiende sus ejercicios y presenta la versión mas madura de su teoría de la resolución de problemas.

Cabe señalar que el trabajo de Polya concierne a la matemática elemental y está dirigido a la enseñanza. En este sentido, su aportación al estudio de la heurística parece muy particular. Sin embargo, su propuesta puede extenderse a áreas especializadas de las matemáticas e incluso puede ser de utilidad en otros campos del conocimiento.

Para Polya, el matemático descubre sus resultados de la misma forma que un biólogo, observando la colección de sus especimenes (ya sean éstos números o plantas) y luego "adivinando" sus conexiones y relaciones (Polya 54, p.47). Estos dos difieren en que mientras la verificación por observación es suficiente para el biólogo, el matemático requiere de una prueba rigurosa para aceptar lo que ha encontrado. Sin embargo, la forma en que adivinan nuevos resultados es similar y puede guiarse mediante reglas heurísticas.

En el trabajo de Polya, el estudio de la heurística tiene por objetivo entender el proceso para resolver problemas, en particular las operaciones mentales que son útiles en este proceso. Para este fin, toma en cuenta aspectos de índole lógico como de orden psicológico. Uno de sus argumentos que que la base de la heurística está en la experiencia de resolver problemas y en ver cómo otros lo hacen.

Aunque su estudio no es sistemático ni teórico, sino mas bien a través de observaciones particulares, comentarios sobre estrategias heurísticas y multitud de ejemplos, desde su libro "Cómo resolverlo" se identifica un método general. En "Matemáticas y Razonamiento Plausible" propone reglas lógicas plausibles que guían la solución de problemas.



Cómo Solucionarlo

A continuación presentamos el método general (tomado de Newell 83, p.203):



Entiende el problema

Cuál es la incógnita? los datos? la condición?

es la condición satisfacible? suficiente para la incógnita?

insuficiente? redundante? contradictoria?

Dibuja una figura. Introduce una notación clara para plantear el problema.

Separa las partes de la condición. Escríbelas.

Haz un plan

Has visto este problema antes? en forma diferente?

Conoces algún problema relacionado? un teorema que pudiera servir?

Conoces algún problema similar con la misma incógnita? con una incógnita similar?

Dado un problema relacionado ya resuelto, ve si puedes usar su resultado. Tal vez su método? podría ayudar algún elemento auxiliar?

Replantea el problema. Replantéalo aún mas diferente.

Regresa a las definiciones.

Resuelve primero algún problema similar

Es mas accesible? mas general? especial? análogo?

Resuelve alguna parte del problema? guarda parte de la condición?

Qué otros datos pueden determinar la incógnita?

Cambia la incógnita? los datos? los dos?

Acerca los dos problemas lo mas posible

Usaste todos los datos? toda la condición? todas las nociones esenciales?

Lleva a cabo el plan

Revisa cada paso

Lo ves claro? lo puedes probar?

Analiza la solución

Está bien el resultado? el argumento?

Se deriva el resultado de manera diferente? se puede ver de primer vistazo?

Puedes usar el resultado en otro problema? el método?



En este método se encuentran casi todos los aspectos que constituyen su heurística: una vez que las condiciones del problema están totalmente claras y específicas, varias estrategias son propuestas, basadas principalmente en analogía, en el replanteamiento del problema y en la resolución de problemas relacionados que ayuden a resolver el principal. Seguidamente, se lleva a cabo el plan seleccionado y se verifica. Finalmente, se analiza la solución revisando si se puede llegar a ella de otra forma y se estudiando la utilidad y la del método en otros problemas.

Tener una buena idea para resolver un problema, nos dice Polya, es difícil cuando se tiene poco conocimiento y experiencia en la materia, ya que éstas se basan en experiencias pasadas y conocimiento ya adquirido. Pero la buena memoria no es suficiente para obtener una buena idea, hay que recordar elementos claves como lo son problemas similares ya resueltos o teoremas relacionados. Claro está que puede haber un sinfín de problemas que son comunes de una u otra forma. Cómo podemos entonces seleccionar ese problema, o grupo de ellos que son realmente útiles? La sugerencia es la de concentrarse en la incógnita y buscar aquel problema que tenga la misma incógnita o una muy parecida.

Así, la analogía juega un papel crucial en la resolución de problemas. Por ejemplo, obtener la diagonal de un paralilepípedo rectangular (esto es un sólido tal que sus lados son paralelogramos en vez de rectángulos), es fácil si ya se sabe cómo obtener la diagonal de un rectángulo (La analogía puede también buscarse en el método de resolución). Sin embargo, analogía no siempre es la solución, como bien dice Polya, "no funciona como la magia" (Polya 45, p.10). Si no funciona, rutas alternativas se deben probar. Una de ellas es la de replantear el problema variando su forma. Todo problema se puede variar de diversas formas: descomponiéndolo, combinándolo con otro, generalizándolo, empezando con un caso particular, omitiendo alguna de las condiciones, etcétera.

Aveces solo "reescribiendo" el problema se llega a su solución. Como el caso cuando Gauss (1777-1855), matemático muy ilustre de orígen alemán, planteó el problema de sumar la sucesión de los números del 1 al 100 (cf. hay todo un capítulo en CITA donde Max Wertheimer). Lo hizo reescribiendo:

1 2 3 ... 99 100 como (1100) (299) ... (5051)

Finalmente, si el problema a resolver resulta muy difícil, puede usarse la última estrategia, donde se propone resolver un problema auxiliar o similar. En demostración en matemáticas, esto es muy común. Si en el intento de probar el teorema A, sospechamos de otro teorema, a saber B, del cual se puede probar A, se asume provisionalmente B (posponiendo su prueba) y se prueba A. B es un teorema auxiliar, esto es, un lema.

Así, resolver un problema particular no es necesariamente más fácil que uno mas general. Planes mas ambiciosos pueden tener mas posibilidades de éxito. De hecho, la llamada "paradoja del inventor", muestra muy bien este fenómeno. Al resolver un problema, puede suceder que nos percatemos de que otro problema donde nuestra meta es solo un caso particular, es más facil de probar(3). El logro está precisamente en inventar el problema mas general y darse que cuenta que es mas fácil probarlo.

Hay otras estrategias usadas por Polya en "Cómo solucionarlo" que no caben totalmente dentro del método propuesto. Tal es el caso de los ya mencionados método de análisis, reducción al absurdo, así como estrategias particulares de construcción geométrica y resolución de ecuaciones.



Además, Polya propone reglas heurísticas que son mas bien de índole psicológico. Pone enfásis en aspectos cognitivos como lo son la atención, la memoria y la motivación. La resolución de problemas ocurre cuando la atención humana está enfocada a ciertos aspectos de un problema ("ocúpese de la atención y el problema se ocupará de sí mismo" Newell, p. 201). Mas aún, la memoria juega un papel muy importante. Muchas ideas están justificadas no porque resuelvan el problema, sino porque llaman la atención de algo en la memoria que encamina en la ruta a la solución. Por último, en la medida en que un humano está motivado para resolver un problema podrá alcanzar su solución mas rápidamente: "el secreto abierto del éxito es el de involucar toda tu personalidad en el problema" (polya 45, p.180). De hecho, algunos autores (cf. Tikhomirov 83) consideran estos aspectos cognitivos como estrategias heurísticas en sí mismas y han desarrollado teorías de la motivación como parte del modelo humano de la resolución de problemas.

El papel que juegan estos métodos en la heurística en matemáticas consiste en que ninguno de ellos garantiza la solución a un problema, pero en caso de tener éxito, su descripción es prácticamente la demostración formal que se necesita para probar rigurosamente el resultado, esto es, la prueba completa. Anteriormente a este paso, sin embargo, hay casi siempre una justificación incompleta, una base provisional plausible, una pista de que el paso a justificar tiene cierta posibilidad de éxito, en corto, lo que Polya llama una justificación heurística (p.148). A continuación presentamos los puntos mas importantes que Polya estudió en esta dirección.



Razonamiento Plausible

En "Matemáticas y Razonamiento Plausible" Polya argumenta que el proceso de descubrimiento en matemáticas está guiado por mecanismos de inferencia no deductivos, que tienen mucho trabajo de "adivinanza" (guesswork) y que aunque no son totalmente certeros, son signos de progreso en la solución de un problema. "Patrones de inferencia plausible" es su término para los principios que gobiernan este tipo de razonamiento.

Para Polya el trabajo de adivinanza sigue ciertos patrones que pueden caracterizarse. Esta posición va en contra de aquellos que sostienen que la invención en matemáticas no sigue reglas de ningún tipo y que todo es cuestión de suerte, intuición y adivinanza sin razón.

Entre los patrones de razonamiento plausible discutidos por Polya se encuentran los siguientes:



1.- Patrones Inductivos

"La verificación de la consecuencia hace que la conjetura sea mas creíble"

Por ejemplo, la conjetura "llovió anoche" se hace mas creíble cuando verificamos la consecuencia "el patio está mojado".

2.- Verificación sucesiva de varias consecuencias

"La verificación de una nueva consecuencia cuenta más (o menos) si la nueva consecuencia difiere más (o menos) de la primera de las consecuencias verificadas"

Por ejemplo, si se trata de corroborar la conjetura: "todos los cuervos son negros" y observamos n cuervos Australianos, todos ellos negros, nuestra credibilidad en esta conjetura se incrementará sustancialmente si el cuervo (n1) es un cuervo negro del Brasil y no de Australia.

3.- Verificación de consecuencias improbables

"La verificación de una consecuencia cuenta más (o menos) dependiendo de si la consecuencia es mas (o menos) probable en si misma"



Por ejemplo, la conjetura "llovió anoche" es más creíble con la evidencia "el techo está goteando" que con la observación más común: "el pasto está mojado".

4.- Inferencia por Analogía

"Una conjetura se hace más creíble cuando una conjetura análoga resulta ser verdadera".

Por ejemplo, la conjetura "De todos los objetos con el mismo volumen, la esfera es la que tiene menor superficie" se hace más creíble cuando se prueba el teorema relacionado "De todas las curvas que tienen la misma área, el círculo es el de perímetro más corto".



Estos patrones presentan modos de razonamiento inciertos, en donde se muestran condiciones para hacer más o menos creíble una conjetura. La credibilidad depende en gran medida de la verificación de las consecuencias asociadas a la hipótesis (1,2 y 3) o de probar conjeturas análogas (4). A este tipo de conclusiones Polya les llama "conclusiones heurísticas". No son certeras, pero guían el camino a aquellas conjeturas que posteriormente se demuestran formalmente.

El razonamiento plausible se rige de reglas, insiste Polya, aunque éstas no son como las reglas que caracterizan al razonamiento demostrativo, en el cual las conclusiones a las que se llega son totalmente certeras. Contrastemos estos dos tipos de razonamientos.

Consideremos primero el "modus tollendo tollens", también conocido como silogismo hipotético:

Ejemplo:

A -> B

-B

------------

-A

Si llueve, el patio se moja

El patio no está mojado

-------------------------------

No ha llovido

Este patrón tiene las características de todo patrón de razonamiento demostrativo: es impersonal, universal, autosuficiente y definitivo. Es impersonal porque su validez no depende de la personalidad o el humor con el que se hace el razonamiento. Es universal porque su forma y validez no se limitan a ningún campo particular del conocimiento; éste puede ser matemáticas, derecho, filosofía o lo que sea. Se le llama autosuficiente porque la validez de este silogismo no depende en nada de aspectos externos a él. Una vez aceptadas las premisas, la conclusión debe también ser aceptada. Por último, la conclusión de este silogismo es definitiva, en el sentido en que una vez aceptadas las premisas, podemos olvidarnos de ellas y conservar únicamente la conclusión.

Comparemos el silogismo anterior con el siguiente "silogismo heurístico"(así lo llama Polya en "Como solucionarlo"). Esta forma argumentativa representa al patrón inductivo antes mencionado:

Ejemplo:

A -> B

B

------------

A mas creíble

Si llueve, el patio se moja

El patio está mojado

-------------------------------

Es mas creíble que haya llovido

La razón por la que la conclusión que llueve (A) no se infiere con total certidumbre es porque tal vez haya otras razones por las que el patio esté mojado (B) (los aspersores de agua están prendidos, los niños están jugando con agua, etcétera) En otras palabras, de A -> B y B no se deduce necesariamente A, solo se hace mas creíble.

Estos dos patrones, el "demostrativo" y el "plausible" tienen una similitud considerable. Los dos comparten la misma primera premisa:

A -> B

En cuanto a la segunda:

B falsa B verdadera

Son opuestas en valor de verdad pero igualmente claras. La diferencia fundamental está en las conclusiones:

A falsa A mas creíble

Estas conclusiones tienen un estatus lógico muy diferente. Mientras que la conclusión del patrón demostrativo está al mismo nivel que sus premisas, la del razonamiento plausible es de distinta naturaleza, menos precisa, abierta a discusión.

Tal pareciera entonces que el silogismo heurístico no cumple con las características del patrón demostrativo, a saber, ser impersonal, universal, autosuficiente y definitivo. Para Polya, sin embargo, estas características están presentes en cierta forma en el patrón de razonamiento plausible. Para toda persona racional, la conclusión heurística A es más creíble con base en las premisas que sin ellas. En este sentido, la regla: "la verificación de la consecuencia fortalece la conjetura" es impersonal y universal, pues su validez solo depende de su forma y no de su contenido particular. Sin embargo, en el momento de entrar mas en detalle y preguntar cuánto es mas creíble la conclusión o cuál es el peso de la evidencia, diferencias personales y de distintos campos del conocimieno entran en juego. Diferencias de conocimiento previo, de experiencia en un tema particular o de estilo y opinion personal son todos factores determinantes para juzgar el grado de credibilidad de una conclusión asi como el peso de la evidencia. En cuanto a autosuficiencia y definitividad, la conclusión heurísitica está apoyada en las premisas y no depende de aspectos externos. Sin embargo, si en el futuro hay nueva información (eg. estamos en época de sequía) nuestra credibilidad en la conclusión puede cambiar hasta el grado de hacerla falsa (eg. no pudo haber llovido). Así, puede decirse que en base exclusivamente a la información de las premisas, la conclusión está justificada. Solo que esta conclusión no es duradera ni definitiva, es solo provisional. El veredicto de un jurado puede condenar a un inocente o salvar a un criminal. Pero la injusticia del veredicto está justificada (tal vez sólo lógicamente) en el sentido de que con la evidencia e información disponible, no otro veredicto era posible.



Y DESPUES DE POLYA ...?

El trabajo de George Polya se considera pionero en la resolución de problemas en el campo de la inteligencia artificial. Sin embargo, aunque Polya ha servido de fuente de inspiración, sus propuestas particulares no han tenido gran impacto (cf. Newell 83). Esto obedece varias razones. En primer lugar, mientras que el modelo cognitivo inteligente para Polya es directamente el ser humano, la inteligencia artificial tiene a las computadoras como instrumento para imitar el comportamiento inteligente del ser humano. Es natural que los programas se diseñen utilizando al máximo las virtudes de las computadoras; especialmente su rapidez de cálculo y capacidad de almacenamiento, capacidades que no son características de los humanos. Por ejemplo, resulta mucho mas rápido y eficiente diseñar un demostrador de teoremas automático que siga un algoritmo de decisión (esto es, un método específico y finito de un problema que tiene solución), que uno que imite las intentos por analogía que realiza un humano al demostrar teoremas.



Además, es ciertamente un reto que va mas allá del estado actual de la inteligencia artifcial, modelar algunos de los procesos que analiza Polya, como el de resolver problemas tomando en cuenta problemas auxiliares (aunque cabe decir que hay ejemplos muy exitosos cuando los problemas son muy acotados). Por último, el comportamiento inteligente de una computadora se modela en general diseñando estrategias que convierten una búsqueda exhaustiva, como por ejemplo calcular todas las jugadas posibles en una partida de ajedrez, en una búsqueda heurística, aquella que solo calcula las jugadas que tienen posibilidad de éxito, deacuerdo a una función de evaluación predeterminada .

Así, la noción de heurística varia de uno a otro campo. Mientras que en matemáticas se identifica con el descubrimiento de teoremas o de soluciones a problemas, en inteligencia artificial la heurística se ha incorporado con acciones específicas, como el diseño de estrategias de búsqueda inteligente(4)

Por otro lado, el trabajo de Polya se reconoce como la base de estudios en filosofía de la ciencia; en particular de las ideas de Lakatos en "Pruebas y Refutaciones", donde se argumenta (usando muchos ejemplos históricos de descubrimiento en matemáticas) que aunque no hay una lógica del descubrimiento, una que obtenga resultados con certeza (como sostiene Popper), si hay una lógica falible del descubrimiento, la lógica del progreso científico, que no es ni psicología ni lógica, sino una disciplina independiente, la lógica de la heurística.

Sin embargo, la propuesta de Polya sobre los patrones de razonamiento plausible no es considerada en la lógica contemporánea como digna de ser estudiada como inferencia lógica. Un matemático o un lógico dirían que si la conclusión de una forma argumentativa no es certera, entonces para que nos sirve? De hecho, al silogismo heurístico antes presentado se le conoce mas popularmente como la falacia de afirmar el consecuente. La conclusión de este silogismo heurístico no es certera, es solo una pista, una hipótesis (eg. tal vez esté lloviendo) que puede ser confirmada o refutada con información adicional.

Enfoques fuera de lo tradicional antes y después de Polya si la han analizado. Su estudio lógico tiene orígenes en Chales S. Peirce (1839-1914), fundador del pragmatismo americano, para quien existen tres formas de razonamiento lógico: la deducción, la inducción, y la abducción, nombre que da a la forma hipótetica de razonar, representada en el silogismo heurístico. Mas actualmente, estas formas de razonamiento han sido reivindicadas en el estudio de lógicas no-monótonas, estas son lógicas no clásicas que se han diseñado principalmente en la rama lógica de la inteligencia artificial, para modelar lo modos de razonamientos humanos. En estas lógicas se intenta capturar nociones como "A es mas creíble", "A normalmente implica que B" de un modo cualitativo. Aunque el análisis que da Polya a los patrones de razonamiento plausible es probabilístico, puede considerarse como pionero en el estudio de las lógicas no-monotónicas. Pero este es otro tema es si mismo, en el cual no podemos expandernos por el momento (cf. Aliseda 97 para un estudio de las propiedades lógicas y computacionales de la abducción).



CONCLUSIONES

La heurística juega un papel muy importante en el quehacer matemático. Por un lado, la selección del método adecuado para hacer una demostración, no sigue reglas rigurosas. Aveces es mas fácil demostrar un teorema directamente, otras por reducción al absurdo y en otras ocasiones es necesario recurrir a la demostración de un lema.

Más en general, diversas estrategias heurísticas pueden servir de guía en la resolución de problemas. Polya propone un método general basado en analogía, en el replanteamiento de problemas y en la resolución de problemas similares que ayuden a resolver el principal. A pesar de la generalidad de los pasos de este esquema, se le puede considerar un método. Es un procedimiento específico, es racional, involucra submetas y subplanes y su funcionamiento puede observarse y evaluarse (cf. Newell 83).

Es interesante señalar que para Polya la solución de un problema en matemáticas no es un hecho aislado. Su enfásis en considerar otros problemas similares ya resueltos no solo da a la analogía un papel fundamental, sino que con esto propone un contexto matemático en donde los objetos son los problemas y sus métodos. Además, da mucha importancia a pensar en problemas futuros. El último paso del problema es justamente analizar en que medida el problema o su método pueden ser útiles en problemas por venir.

Mas aún, el quehacer en matemáticas concierne también patrones heurísticos de razonamiento, los modos de pensar que nos guían en la construcción inicial de las hipótesis y conjeturas que posteriormente se prueban. Polya propone varios patrones de razonamiento plausible, en los que las conclusiones que se infieren son solo buenas pistas para la solución de un problema. A pesar de su falibilidad, estos patrones tienen formas claras y precisas que se pueden estudiar y tratar lógicamente. Se rigen por reglas que determinan si una conclusión resulta más o menos creíble a partir de ciertas premisas, dejando el grado de credibilidad y el peso exacto de las premisas a juicio del razonador.

El trabajo de Polya no es usual en la investigación ni en la enseñanza de las matemáticas. Sin embargo, tiene sus origenes en los griegos; en el estudio de los métodos de analísis y síntesis y en autores como Pappus, Descartes, Leibnitz, Bolzano y Peirce. Su método general nos recuerda el enfoque pragmatista de John Dewey, para quien el resover un problema es un proceso continuo que no termina. La solución de un problema depende de ciertas etapas donde es tan importante definir bien el problema como resolverlo y hacer un juicio sobre el significado del resultado. Además, su estudio de patrones de razonamiento plausible es pionero en el estudio de las lógicas no monótonas.

Terminemos con una cita de Polya:

"Las matemáticas tienen varios aspectos. Desgraciadamente, para muchos estudiantes son un conjunto de reglas rígidas que hay que aprenderse antes del examen final y que pueden olvidarse después ... Para un matemático involucardo en la investigación, el quehacer en matemáticas es muchas veces como un juego de adivinanza: hay que adivinar el teorema matemático antes de probarlo, hay que adivinar la idea de la demostración antes de escribir en detalle la prueba rigurosa ... La primera adivinanza puede estar lejos de la verdad, pero después de varios intentos y modificaciones, seguidos por la observación y analogía, se llega a una conjetura mas atinada ... "

"El resultado del pensamiento creativo de un matemático es el razonamiento demostrativo, una prueba rigurosa, pero la prueba se descubre por medio del razonamiento plausible, adivinando." (Polya 54, p.158)



BIBLIOGRAFIA

Aliseda 97 A. Aliseda. "Seeking Explanations: Abduction in Logic, Philosophy of Science and Artificial Intelligence". Tesis de doctorado. Universidad de Stanford. Publicada por ILLC publications. Institute for Logic, Language and Computation. Universidad de Amsterdam, Países Bajos. 1997.

Barr etal 83 A. Barr y E. Feigenbaum (eds). "The Handbook of Artificial Intelligence". Volume I. Addison-Wesley 1981.

Barwise etal 93 J. Barwise y J. Etchemendy "The Language of First Order Logic". CSLI publications. Center for the Study of Language and Information. Stanford University. 1993.

Beth 58 E. Beth. "The Foundations of Mathematics". Amsterdam, Nort-Holland Pub. Co. 1959

Groener etal 83 M. Groener, R. Groener, y W.F. Bischof. "Approaches to Heuristics: A Historical Overview". En: R. Groener, M. Groener, y W.F. Bischof (eds), "Methods of Heuristics". Lawrence Erlbaum Associates, Publishers, New Jersey-London. 1983.

Newell etal 72 A. Newell y H.A. Simon. "Human Problem Solving". Englewood Cliffs, N.J. Prentice Hall. 1972.

Newell 83 A. Newell. "The Heuristics of George Polya and Its Relation to Artificial Intelligence". En: R. Groener, M. Groener, y W.F. Bischof (eds), "Methods of Heuristics". Lawrence Erlbaum Associates, Publishers, New Jersey-London. 1983.

Polya 45 G. Polya. "How to Solve it". Princeton. N.J. Princeton University Press. 1945.

Polya 54 G. Polya. "Mathematics and Plausible Reasoning. Volume II Patterns of Plausible Inference". Princeton University Press, 1968.

Lakatos 76 I. Lakatos. "Proofs and Refutations. The Logic of Mathematical Discovery". Cambridge University Press. 1976.

Tikhomirov 83 O.K. Tikhomirov. "Informal Heuristic Pinciples of Motivation and Emotion in Human Problem Solving". En: R. Groener, M. Groener, y W.F. Bischof (eds), "Methods of Heuristics". Lawrence Erlbaum Associates, Publishers, New Jersey-London. 1983.

Velleman 94 D. Velleman. "How to Prove it. A Structured Approach". Cambridge University Press. 1994.

Visser 98 H. Visser. "Procedures of Discovery". Manuscrito. Universidad de Utrecth. Países Bajos. 1998.

1.

0 La teoría de la demostración es una rama de la lógica fundada por David Hilbert en los años veinte, que surge con el objeto de superar problemas en los fundamentos de las matemáticas y que tiene que ver con pruebas de consistencia.

2.

0Mas formalmente esta regla se presenta como dos: la primera, donde se infiere la conjunción se llama de introducción del conectivo conjunción y la segunda y tercera se denomina de eliminación del conectivo conjunción.

3.

0Por ejemplo, probar la siguiente propiedad por indución: "ninguna fórmula ambigua empieza con un conectivo binario, termina con un símbolo de negación, o tiene un símbolo de negación que antecde a un conectivo binario" es mucho mas fácil que probar la propiedad mas particular: "ninguna fórmula ambigua tiene un símbolo de negación que antecede a un conectivo binario", cf. Barwise etal 1993.

4.

0 Hay mucho mas sobre heurística en inteligencia artificial que lo aqui mencionado, pero esto no concierne tanto al descubrimiento en matemáticas que hemos discutido en este artículo. El origen de estos estudios se encuentra en el trabajo pionero de Newell y Simon (cf. Newell eta 58). Una de tantas referencias en inteligencia artificial sobre métodos heurísticos de búsqueda, que incluye procedimientos como el de trabajar para adelante (denominado guiado por los datos o de abajo-hacia-arriba) y para atrás (orientado a la meta o de arriba-para-abajo) se encuentra en Barr etal 82.

Regresar a la página del TDL

Regresar a la página de Raymundo

Regresar a la página del IIF