Mauricio Eduardo

Bieletto Bueno

 

14/sep/04

 

1.

 

Lo que les pido es que me ayuden a comprender un breve pasaje del artículo de Tarski titulado On the concept of following logically. Por supuesto, eso de “ayúdenme a comprender” es bastante vago como petición para este seminario, así que, para motivar la participación y obtener de ustedes lo que deseo, expondré primero algunas ideas que considero indispensables para comprender dicho pasaje, para indicar posteriormente en qué punto su interpretación no me resulta clara. No necesito que me ayuden a comprender todo el pasaje (a menos que detecten que efectivamente no lo he estado leyendo muy bien, en cuyo caso sus comentarios y aclaraciones serán también recibidos con gusto), sino sólo un punto muy especial al final del él. Como verán más adelante, dicho punto es bastante técnico (por lo que espero que se disipen las vaguedades), sólo quiero que me ayuden a comprender la parte en cursivas, y creo que lo que estoy buscando, más que una aclaración, es una demostración. El pasaje es el siguiente:

 

At the foundation of our whole construction lies the division of all terms of a language into logical and extra-logical. This division is certainly not entirely arbitrary: if we did not count among the logical terms e.g. the implication sign or the quantifiers, the definition provided of following could lead to consequences manifestly contradictory to everyday intuitions. On the other hand however I know no objective reasons which would allow one to draw a precise dividing line between the two categories of terms. On the contrary, I have the impression that –without expressly violating everyday intuitions– one can count among the logical terms also terms which logicians do not usually count among this category. The extreme would be the case in which we treated all terms of the language as logical: the concept of following formally would then coincide with the concept of following materially –the sentence X would follow from the sentences of the class K if and only if either the sentence X were true or at least one sentence of the class K were false.[1]

 

2.

 

La noción de constante lógica tiene una relación estrecha con la definición de consecuencia lógica dada por Tarski. Para entender esta definición y la relación mencionada debemos explicar la noción de modelo ofrecida por Tarski.

 

Dentro de los términos que contiene un lenguaje formal  distinguimos por lo general entre aquellos que funcionan como variables, y aquellos que tienen siempre la misma interpretación dentro de ese lenguaje. Comúnmente, a estos últimos se les considera como las constantes no lógicas de ese lenguaje.  Para continuar con la explicación de la noción de modelo, asumamos que a cada constante no lógica del lenguaje que estamos considerando, corresponden ciertas variables (por ejemplo, a la constante C1 corresponde la variable V1, a la constante C2 corresponde la variable V2, y así respectivamente). Reemplacemos ahora, dentro de cualquier fórmula bien formada de ese lenguaje, cada constante por una variable. Este reemplazo transforma nuestro enunciado en lo que Tarski llama una función oracional. Consideremos ahora no sólo un enunciado, sino un conjunto de ellos, y reemplacemos de manera uniforme todas las constantes no lógicas que aparecen en estos enunciados por variables correspondientes. De esta manera obtenemos un conjunto de funciones oracionales, llamémoslo el conjunto G.  Ahora bien, a cualquier secuencia que satisfaga todas y cada una de las funciones oracionales del conjunto G, podemos llamarla un modelo del conjunto G.

 

            Una vez dada la noción de modelo, podemos definir la noción de cosecuencia lógica: un enunciado X se sigue lógicamente de un conjunto de enunciados K si y sólo si todo modelo de la clase K es al mismo tiempo un modelo del enunciado X.

 

Esta definición implica lo siguiente: si el conjunto de expresiones identificadas como constantes lógicas en nuestro lenguaje varía, entonces también cambiará el conjunto de enunciados que son consecuencia lógica unos de otros en ese lenguaje. Esta manera de explicar tanto la noción de oración formalmente verdadera como la de consecuencia lógica a través de la definición de modelo exige que podamos discernir entre las constantes lógicas y las no lógicas de nuestro lenguaje. Si bien tal distinción está lejos de ser obvia, hay razones que nos indican que no es arbitraria. Por mencionar alguna de ellas, recordemos que Tarski indica que su definición de consecuencia lógica nos llevaría a consecuencias que no se ajustarían a nuestras intuiciones en caso de que no contáramos como constantes lógicas a los cuantificadores o a las conectivas veritativo-funcionales.

 

Imaginemos ahora el caso en el que todas las expresiones o términos del lenguaje fueran incluidos dentro del conjunto de las constantes lógicas. Así como la expresión “no” es una constante lógica, así lo serían también expresiones como “mosquito”, “debajo”, “nunca”, o “tarde”. Si sucediera esto la conclusión sería sorprendente: según Tarski, el concepto de seguirse lógicamente coincidiría con el concepto de seguirse materialmente. Un enunciado Q se seguiría de un conjunto de enunciados G si y sólo si o bien el enunciado Q fuera verdadero o bien cuando por lo menos uno de los enunciados del conjunto G fuera falso. Ésta es la idea que les pido me ayuden a entender.


[1] “En los fundamentos de nuestra construcción entera yace la división de todos los términos de un lenguaje en lógicos y extralógicos. Esta división es, ciertamente, no enteramente arbitraria: si no contáramos entre los términos lógicos, por ejemplo,  el signo de implicación o los cuantificadores, la definición dada de consecuencia podría llevar a consecuencias manifiestamente contradictorias a las intuiciones diarias. Por otro lado, no conozco ninguna razón objetiva que nos permita trazar una línea divisoria precisa entre las dos categorías de términos. Por lo contrario, tengo la impresión de que, sin violar explícitamente las intuiciones diarias, uno puede contar entre los términos lógicos también a aquellos que los lógicos no incluyen usualmente dentro de esa categoría. El caso extremo sería aquel en el que tratáramos a todos los términos del lenguaje como lógicos: el concepto de seguirse lógicamente coincidiría con el concepto de seguirse materialmente. El enunciado X se seguiría de los enunciados de la clase K si y sólo si o bien cuando X  fuera verdadero, o bien cuando por lo menos uno de los enunciados del conjunto K  fuera falso”. Tarski, Alfred. (1936) “On the concept of following logically”, tr. by Magda Stroinska and David Hitchcock. History and Philosophy of Logic (2001) 23: 155-196. La traducción del pasaje y las cursivas son mías.